新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件第7章复数章末知识梳理

第七章复数章末知识梳理核心知识归纳要点专项突破知识体系构建返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）知识体系构建返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）核心知识归纳返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）1．复数的有关概念(1)虚数单位i；(2)复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数.2．复数集复数a＋bia，b∈R实数b＝0，虚数b≠0当a＝0时为纯虚数.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）3．复数的几何形式(1)用点Z(a，b)表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量OZ→表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，Z称为z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0).(2)任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量OZ→.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）4．共轭复数与复数的模(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi，z＋z－为实数，z－z－为纯虚数(b≠0).(2)复数z＝a＋bi的模|z|＝a2＋b2，且z·z－＝|z|2＝a2＋b2．返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）5．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线，则复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数z1－z2是连接向量OZ1→，OZ2→的终点，并指向Z1的向量所对应的复数.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）6．复数的四则运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bd＋bc－adic2＋d2(c＋di≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）要点专项突破返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）复数常设为z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R⇔b＝0；z为虚数⇔b≠0；z为纯虚数⇔a＝0且b≠0．要点一有关复数的概念返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.(1)为实数.(2)为纯虚数.(3)对应的点在第一象限内.(4)复数z对应的点在直线x－y＝0上.[分析]根据题设条件构建方程(组)或不等式(组)求解即可.典例1返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[解析](1)z∈R⇔a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2．(2)z为纯虚数，a2－2a＝0，a2－3a＋2≠0，即a＝0或a＝2，a≠1且a≠2，故a＝0．返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）(3)z对应的点在第一象限，则a2－2a0，a2－3a＋20，所以a0，或a2，a1，或a2，所以a0或a2．所以a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).(4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，所以a＝2．返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶已知m∈R，复数z＝mm＋2m－1＋(m2＋2m－1)i，当m为何值时：(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[解析](1)当m2＋2m－1＝0且m－1≠0，即m＝－1±2时，z为实数.(2)当m2＋2m－1≠0且m－1≠0．即m≠－1±2且m≠1时，z为虚数.(3)当mm＋2m－1＝0且m2＋2m－1≠0，即m＝0或－2时，z为纯虚数.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部、虚部来理解一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题.要点二复数相等返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.典例2[解析]设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，∴4a2＝4，a2＋b2＝2，∴a＝1，b＝1或a＝1，b＝－1或a＝－1，b＝1或a＝－1，b＝－1，∴x＝1＋i，y＝1－i或x＝1－i，y＝1＋i或x＝－1＋i，y＝－1－i或x＝－1－i，y＝－1＋i.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷已知复数z＝(1＋2i)(－2＋i)－3＋i1＋i.(1)化简复数z；(2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求实数a，b的值.[解析](1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－3＋i1－i1＋i1－i＝－4－3i－4－2i2＝－4－3i－(2－i)＝－6－2i.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）(2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0，∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0，∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0，∴22－12a－b＝0，26－4a＋b＝0.解得a＝3，b＝－14.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）要点三复数的模及其几何意义1．z≠0，z为纯虚数⇔z－＝－z.2．复数模的计算公式：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝a2＋b2，在解答有关复数模的问题时应重视以下结论的运用：z·z－＝|z|2＝|z－|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝|z1||z2|(z2≠0)等.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）典例3复数z满足|z＋3－3i|＝3，求|z|的最大值和最小值.[解析]|z＋3－3i|＝3表示以－3＋3i对应的点P为圆心，以3为半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋3i|＝12＝23，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋3＝33，|z|min＝|OB|＝|OP|－3＝3.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸已知z∈C且|z|＝1，求|z2－z＋1|的最值.[解析]因为|z|＝1，所以z·z－＝1，所以z2－z＋1＝z2－z＋zz－＝z(z＋z－－1)，所以|z2－z＋1|＝|z(z＋z－－1)|＝|z|·|z＋z－－1|＝|z＋z－－1|.设z＝x＋yi(x，y∈R)，那么|z＋z－－1|＝|2x－1|，又因为|z|＝1，所以x2＋y2＝1．所以－1≤x≤1，所以－3≤2x－1≤1，则0≤|2x－1|≤3．所以|z2－z＋1|的最小值为0，最大值为3．返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇.要点四复数与其他知识的综合应用返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i,2i,2＋i，z.(1)求复数z；(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值.典例4返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[解析](1)复平面内A，B，C对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，设D的坐标为(x，y)，由于AD→＝BC→，∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3,2)，则点D对应的复数z＝3＋2i.(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，则3＋2i＋3－2i＝p2，(3＋2i)·(3－2i)＝q2，即p＝12，q＝26．返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设AB→对应的复数为z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y＝12x上，求θ的值.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[解析](1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ).由点P在直线y＝12x上，得－2sin2θ＝－12，∴sin2θ＝14，又θ∈(0，π)，∴sinθ0．因此sinθ＝12，∴θ＝π6或θ＝5π6.