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第九章统计章末知识梳理核心知识归纳要点专项突破知识体系构建返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）知识体系构建返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）核心知识归纳返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）一、随机抽样1．简单随机抽样(1)特征：①逐个不放回的抽取；②每个个体被抽到的概率都相等.(2)常用方法：①抽签法；②随机数法.返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）2．分层随机抽样(1)定义：按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本.(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.在比例分配的分层随机抽样中，mM＝nN＝m＋nM＋N.(3)在比例分配的分层随机抽样中.我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）二、用样本估计总体1．频率分布直方图可以利用频率分布直方图估计总体的取值规律.返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）2．百分位数与总体百分位数的估计(1)第p百分位数：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.(2)可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数.返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）3．众数、中位数和平均数与总体集中趋势的估计返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）4．总体集中趋势的估计返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）要点专项突破返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）1．两种抽样方法的适用范围：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法；当总体中个体差异较显著时，可采用分层随机抽样.2．掌握两种抽样方法，提升数据分析素养.要点一抽样方法的选取及应用返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）角度1分层随机抽样为了了解学生学习的情况，某校采用分层随机抽样的方法从高一1200人、高二1000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为()A．20B．24C．30D．32[分析]各层中抽样比例相同.典例1B返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）[解析]根据题意可知，抽取比例为：361200＝3100，所以总人数为：90×1003＝3000，所以高三被抽取的人数为3100×(3000－1200－1000)＝24．返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层随机抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是()A．12,24,15,9B．9,12,12,7C．8,15,12,5D．8,16,10,6D[解析]由题意知，各种职称的人数比为160︰320︰200︰120＝4︰8︰5︰3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×420＝8,40×820＝16,40×520＝10,40×320＝6．返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可利用频率和等于1求解.(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解.要点二用样本的取值规律估计总体的取值规律返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位：cm)：(1)列出样本的频率分布表(频率保留两位小数)；(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高低于134cm的人数占总人数的百分比.典例2区间界限[122，126)[126，130)[130，134)[134，138)[138，142)人数58102233区间界限[142，146)[146，150)[150，154)[154，158]人数201165返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）[解析](1)列出样本频率分布表：分组频数频率[122,126)50.04[126,130)80.07[130,134)100.08[134,138)220.18[138,142)330.28[142,146)200.17[146,150)110.09[150,154)60.05[154,158]50.04合计1201.00返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）(2)画出频率分布直方图，如图所示.(3)因为样本中身高低于134cm的人数的频率为5＋8＋10120＝23120≈0.19．所以估计身高低于134cm的人数约占总人数的19%.返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷某电子商务公司对10000名网络购物者2018年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a＝____；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________.36000返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）[解析](1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3．(2)消费金额在区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故在[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6．因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000＝6000．返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）1．四分位数：第25分位数，第50分位数，第75分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.2．由频率分布直方图求百分位数时，一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程求解.要点三样本的百分位数返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）数学兴趣小组调查了12位大学毕业生的起始月薪，具体如表：试确定第85百分位数.[分析]首先从小到大排列各数，再计算i.[解析]将数据从小到大排列：3710,3755,3850,3880,3880,3890,3920,3940,3950,4050,4130,4325．计算i＝n×p%＝12×85%＝10.2，显然i不是整数，所以将i＝10.2向上取整，大于i的比邻整数11即为第85百分位数的位置，所以第85百分位数是4130．典例3学生编号起始月薪138502395034050438805375563710738908413093940104325113920123880返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸新华中学高一年级共有1200人参加了学校组织的诗词背诵比赛，已知所有学生成绩的第70百分位数是75分，则成绩大于或等于75分的学生至少有______人()A．348B．360C．372D．384[解析]将1200人的成绩按照从小到大的顺序排列，75分排在第70百分位数，就是比75分少的人数占了70%，所以成绩大于或等于75分的学生至少占了30%，其人数为1200×30%＝360．B返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度.众数就是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数就是把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，中位数为处于中间位置的数，如果数据的个数是偶数，中位数为中间两个数据的平均数；平均数就是所有样本数据的平均值，要点四用样本的集中趋势、离散程度估计总体返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）用x－表示；标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量，其计算公式是s＝1n[x1－x－2＋x2－x－2＋…＋xn－x－2].有时也用标准差的平方(方差)来代替标准差.返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）根据某市所在地区的收入水平、消费水平等情况，拟将家庭年收入低于1.5万元的家庭确定为“贫困户”，家庭年收入在[6.5,7.5)万元的家庭确定为“小康户”，家庭年收入在[7.5,8.5]万元的家庭确定为“富裕户”，该市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖某县的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2019年的全年收入进行调查，抽查结果的频率分布直方图如图所示.典例4返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）(1)求这200户家庭的全年收入的样本均值x－和方差s2；(2)用样本的频率分布估计总体分布，估计该县100万户家庭中“贫困户”的数量.[解析](1)这200户家庭的全年收入的样本均值x－＝1×0.06＋2×0.10＋3×0.14＋4×0.31＋5×0.30＋6×0.06＋7×0.02＋8×0.01＝4，方差s2＝(－3)2×0.06＋(－2)2×0.10＋(－1)2×0.14＋02×0.31＋12×0.30＋22×0.06＋32×0.02＋42×0.01＝1.96．(2)由频率分布直方图可知，样本中“贫困户”的频率为0.06，所以估计该县100万户家庭中“贫困户”的数量为100×0.06＝6(万户).返回导航第九章统计数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹如图是某班一次考试结果的频率分布直方图，据此估计该班这次考试的平均分为_____.75[解析]利用题图中的值估算平均分，有x－＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.1＝75．