搜索
第十章10.310.3.110.3.2A组·素养自测一、选择题1．在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为mn，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与mn的关系是(A)A．P(A)≈mnB．P(A)mnC．P(A)mnD．P(A)＝mn2．在下列各事件中，发生的可能性最大的为(D)A．任意买1张电影票，座位号是奇数B．掷1枚骰子，点数小于等于2C．有10000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票D．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球[解析]P(A)＝12，P(B)＝13，P(C)＝1100，P(D)＝45.3．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明(A)A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防B．小概率事件很少发生，不用怕C．小概率事件就是不可能事件，不会发生D．大概率事件就是必然事件，一定发生[解析]因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件.故选A．4．某次数学考试中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是14，某家长说：“要是都不会做，每道题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对.”这句话(B)A．正确B．错误C．不一定D．无法解释[解析]把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是14，说明答对的可能性大小是14.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定能答对3道题，也可能都答错或答对1道题、2道题、4道题，……甚至12道题.5．(多选)下列说法正确的是(AB)A．掷一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样大B．射击运动员击中靶的概率是0.9，说明他中靶的可能性很大C．某彩票中奖的概率是1%，买100张一定有1张中奖D．某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占65%，于是他得出该市拥有空调的家庭的百分比为65%的结论[解析]掷一枚硬币正面朝上的概率是0.5，抛一枚图钉钉尖着地的概率不是0.5(钉尖朝上的概率比较大)，所以A对；射击运动员击中靶的概率是0.9，所以中靶的可能性是非常大的，所以B对；概率只是一种可能性的预测，并不是绝对的，所以C错；只对一个小区抽样并不能代表整个城市，所以D错.故选AB．二、填空题6．把一枚质地均匀的硬币连续掷1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为__0.5__.[解析]通过做大量重复试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币正面朝上的概率是0.5．7．采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，这三天中均下雨的概率为__0.1__.[解析]根据题中随机数表中的数据，这三天均下雨的随机数组有431,113，则估计这三天均下雨的概率为220＝0.1．8．种子公司在春耕前采购了一批稻谷种子，进行了种子发芽试验.在统计的2000粒种子中有1962粒发芽，“种子发芽”这个事件发生的频率是__0.981__，若用户需要该批可发芽的稻谷种100000粒，需采购该批稻谷种子__3__千克(每千克约35000粒).(结果取整数)[解析]“种子发芽”这个事件发生的频率为19622000＝0.981；若用户需要该批可发芽的稻谷种100000粒，则需采购该批稻谷种子100000×10.981(粒)，故需要购买该批稻谷种子100000×10.981÷35000≈3(千克).三、解答题9．为了估计某自然区天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只.查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.[解析]设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝200n.从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义可知P(A)≈20150.由200n≈20150，解得n≈1500，所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500只.10．随机抽取一个年份，对某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期12345678910天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴日期11121314151617181920天气阴晴晴晴晴晴阴雨阴阴日期21222324252627282930天气晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；(2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.[解析](1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，用频率估计概率，4月份任选一天，该市在该天不下雨的概率约是2630＝1315.(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)，这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率约为1416＝78，用频率估计概率，运动会期间不下雨的概率约为78.B组·素养提升一、选择题1．(2020·江西省上饶市统考)数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为(B)A．222石B．224石C．230石D．232石[解析]以样本的频率230270＝19为概率，可算得谷约为2018×19≈224石.2．(2020·郑州一中高三模拟)同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况(A)A．这100个铜板两面是一样的B．这100个铜板两面是不同的C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面不是相同的[解析]落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大.3．下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，游戏1游戏2游戏33个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球取1个球，再取1个球取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的球是黑球→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的球是白球→乙胜取出的两个球不同色→乙胜问其中不公平的游戏是(D)A．游戏1B．游戏1和游戏3C．游戏2D．游戏3[解析]游戏1中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白).所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2).所以甲胜的可能性为13，游戏是不公平的.故选D．4．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3000辆帕萨特出租车；乙公司有3000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理(B)A．甲公司B．乙公司C．甲、乙公司均可D．以上都对[解析]由题意得肇事车是甲公司的概率为1003000＋100＝131，是乙公司的概率为30003000＋100＝3031，可以认定肇事车为乙公司的车辆较为合理.故选B．二、填空题5．容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为__64__，估计数据落在[2,10)内的概率约为__0.4__.[解析]数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率约为0.4．6．某盒子中有四个小球，分别写有“中”“美”“建”“交”四个字(2019年是中美建交40周年)，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“建”“交”二字就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中”“美”“建”“交”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：323231320032132031123330110321120122321221230132322130由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为__29__.[解析]经随机模拟产生的18组随机数中恰好第三次就停止的有032,132,123,132，共4组随机数.所以恰好第三次就停止的概率为418＝29.三、解答题7．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率.用随机模拟的方法估计上述概率.[解析]利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组.例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为n100.8．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值.(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值.(3)求续保人本年度平均保费的估计值.[解析](1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55．(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3．(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.