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第六章6.1A组·素养自测一、选择题1．下列说法正确的是(C)A．若|a||b|，则abB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a∥bD．若a≠b，则a与b不是共线向量[解析]A中向量不能比较大小，B中向量模相等，可能方向不同，D中不相等的向量可能方向相同或相反，可以是共线向量，于是A、B、D都是错误的，C显然正确.2．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是(C)A．南偏东60°B．南偏东45°C．南偏东30°D．南偏东15°[解析]如图所示，此人从点A出发，经由点B，到达点C，则tan∠BAC＝1003100＝3，∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．3．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量(D)A．都相等B．都共线C．都不共线D．模都相等[解析]正n边形n条边相等，故这n个向量的模都相等.4．设O是正方形ABCD的中心，则向量AO→，BO→，OC→，OD→是(D)A．相等的向量B．平行的向量C．有相同起点的向量D．模相等的向量[解析]这四个向量的模相等.5．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE→平行的向量有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]根据向量的基本概念可知与AE→平行的向量有BE→，FD→，FC→，共3个.二、填空题6．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”“相等”“无关”).7．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出__6__个互不相等的非零向量.[解析]模为1个单位的向量有2个，如AB→，DC→；模为2个单位的向量有2个，如AC→，DB→；模为3个单位的向量有2个，如AD→，DA→，故共有6个.8．如图，已知四边形ABCD为正方形，△CBE为等腰直角三角形，回答下列问题：(1)图中与AB→共线的向量有__BA→，BE→，EB→，AE→，EA→，CD→，DC→__；(2)图中与AB→相等的向量有__DC→，BE→__；(3)图中与AB→模相等的向量有__BA→，BE→，EB→，DC→，CD→，AD→，DA→，BC→，CB→__.三、解答题9．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与AF→、AE→相等的向量；(2)写出与AD→模相等的向量.[解析](1)与AF→相等的向量为BE→、CD→，与AE→相等的向量为BD→.(2)DA→，CF→，FC→.10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB→相等的向量共有几个；(2)与AB→平行且模为2的向量共有几个？(3)与AB→方向相同且模为32的向量共有几个？[解析](1)与向量AB→相等的向量共有5个(不包括AB→本身).(2)与向量AB→平行且模为2的向量共有24个.(3)与向量AB→方向相同且模为32的向量共有2个.B组·素养提升一、选择题1．如图所示，在⊙O中，向量AO→，OB→与OC→是(C)A．有相同始点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量2．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，点F分别在两腰AD，BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是(D)A．AD→＝BC→B．AC→＝BD→C．PE→＝PF→D．EP→＝PF→[解析]由相等向量的定义，显然EP→＝PF→.3．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是(B)A．CAB．A∩B＝{a}C．CBD．A∩B{a}[解析]因为A∩B中还含有a方向相反的向量，所以B错.4．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是(ABC)A．与AB→相等的向量只有一个(不含AB→)B．与AB→的模相等的向量有9个(不含AB→)C．BD→的模恰好为DA→的模的3倍D．CB→与DA→不共线[解析]与AB→相等的向量只有DC→，A正确；由已知条件可得|AB→|＝|BA→|＝|BC→|＝|CB→|＝|AC→|＝|CA→|＝|DC→|＝|CD→|＝|DA→|＝|AD→|，B正确；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，|DB→|＝|DE→|cos30°，在Rt△AEB中，|AE→|＝12|AB→|＝12|AD→|，所以|DB→|＝32|DA→|32＝3|DA→|，C正确；CB→与DA→方向相同，大小相等，故CB→＝DA→，CB→与DA→共线，D错误.故选ABC．二、填空题5．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__3π__.[解析]这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.6．有下列说法：①若a≠b，则a一定不与b共线；②若AB→＝DC→，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；③在□ABCD中，一定有AD→＝BC→；④若a＝b，b＝c，则a＝c；⑤共线向量是在一条直线上的向量.其中，正确的说法是__③④__.[解析]①两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；②A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平行四边形ABCD中，|AD→|＝|BC→|，AD→与BC→平行且方向相同，所以AD→＝BC→，故③正确；④a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；⑤共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确.三、解答题7．如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形.(1)与AB→相等的向量有哪些？(2)与AB→共线的向量有哪些？(3)若|AB→|＝1.5，求|CE→|的大小.[解析](1)与AB→相等的向量即与AB→同向且等长的向量，有ED→，DC→.(2)与AB→共线的向量即与AB→方向相同或相反的向量，有BA→，ED→，DC→，EC→，DE→，CD→，CE→.(3)若|AB→|＝1.5，则|CE→|＝|EC→|＝|ED→|＋|DC→|＝2|AB→|＝3．8．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|AC→|＝5.(1)画出所有的向量AC→；(2)求|BC→|的最大值与最小值.[解析](1)画出所有的向量AC→如图所示.(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|BC→|取得最小值12＋22＝5；②当点C位于点C5或C6时，|BC→|取得最大值42＋52＝41.∴|BC→|的最大值为41，最小值为5.