新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业643第2课时正弦定理Word版含解析

第六章6.46.4.3第2课时A组·素养自测一、选择题1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝(B)A．15B．59C．53D．1[解析]由asinA＝bsinB，知313＝5sinB，即sinB＝59，选B．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为(D)A．－19B．13C．1D．72[解析]由正弦定理得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2b2a2－1＝2·32a2a2－1＝72.3．已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则sinA＝(A)A．32B．12C．34D．3[解析]由已知，得32＝12×2×3×sinA，∴sinA＝32.4．在△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosB＝cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是(D)A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形[解析]由3b＝23asinB，得bsinB＝23a3，根据正弦定理，得bsinB＝asinA，所以asinA＝23a3，即sinA＝32.又角A是锐角，所以A＝60°.又cosB＝cosC，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.故△ABC为等边三角形，故选D．5．(多选)在△ABC中，若a＝2，b＝23，A＝30°，则B为(AC)A．60°B．30°C．120°D．30°或150°[解析]由正弦定理可知asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝23×122＝32，∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.二、填空题6．已知△ABC外接圆半径是2cm，∠A＝60°，则BC边长为__23cm.[解析]∵BCsinA＝2R，∴BC＝2RsinA＝4sin60°＝23(cm).7．(2019·北师大附二中高二检测)在△ABC中，若B＝2A，a︰b＝1︰3，则A＝__30°__.[解析]由正弦定理asinA＝bsinB知，sinAsinB＝ab＝13，所以sinB＝3sinA＝sin2A.所以cosA＝32，因为A为△ABC的内角，所以A＝30°.8．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinBsinC的值为__35__.[解析]由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos120°，整理得：AC2＋5·AC－24＝0，解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，再由正弦定理可得sinBsinC＝ACAB＝35.三、解答题9．在△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2，求△ABC中其他边与角的大小.[解析]由正弦定理，得asinA＝csinC，∴sinC＝csinAa＝6×sin45°2＝32，∵因为0°C180°，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝csinBsinC＝6sin75°sin60°＝3＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝csinBsinC＝6sin15°sin120°＝3－1．∴b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.10．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.[解析](1)在△ABD中，由正弦定理得BDsinA＝ABsin∠ADB，由题设知，5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC＝5．B组·素养提升一、选择题1．在△ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为(A)A．ABB．ABC．A≥BD．A，B的大小关系不确定[解析]设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵sinAsinB，∴2RsinA2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)，即ab，故AB.2．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为(D)A．22B．24C．32D．3＋14[解析]由正弦定理，得c＝asinCsinA＝2，∵B＝180°－30°－45°＝105°，sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24，∴S△ABC＝12acsinB＝3＋14.3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝(D)A．－12B．12C．－1D．1[解析]∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，∴sinAcosA＋cos2B＝1．4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝(B)A．π12B．π6C．π4D．π3[解析]因为a＝2，c＝2，所以由正弦定理可知，2sinA＝2sinC，故sinA＝2sinC，又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0．又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1．又A∈(0，π)，所以A＝3π4.从而sinC＝12sinA＝22×22＝12.由A＝3π4知C为锐角，故C＝π6.故选B．二、填空题5．在△ABC中，已知a︰b︰c＝4︰3︰5，则2sinA－sinBsinC＝__1__.[解析]设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k0)，由正弦定理，得2sinA－sinBsinC＝2×4k－3k5k＝1．6．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝__π3__.[解析]由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C).又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝12.又∵0Bπ，∴B＝π3.三、解答题7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长.[解析](1)由正弦定理可设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB，所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C).又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA，因此sinCsinA＝2．(2)由sinCsinA＝2，得c＝2a.由余弦定理及cosB＝14，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2，所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2．8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C.(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长.[解析](1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC.故2sinCcosC＝sinC.又C为△ABC的内角，可得cosC＝12，所以C＝π3.(2)由已知，12absinC＝332.又C＝π3，所以ab＝6．由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7．故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25．所以△ABC的周长为5＋7.