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第七章7.27.2.1A组·素养自测一、选择题1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(B)A．－2B．4C．3D．－4[解析]z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．2．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的(A)A．充分必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]z是纯虚数⇔x2－1＝0，x＋1≠0，⇔x＝1，故选A．3．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，则复数z1－z2＝(B)A．－1＋2iB．－2－2iC．1＋2iD．1－2i[解析]OA→＝(－2，－1)，OB→＝(0,1)，∴z1＝－2－i，z2＝i，∴z1－z2＝－2－2i.4．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是(A)A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形[解析]|AB|＝|2i－1|＝5，|AC|＝|4＋2i|＝20，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2．故选A．5．(多选)设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么(BD)A．z的虚部为iB．z的虚部为1C．z＝－34－iD．z＝34＋i[解析]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋x2＋y2＝2＋i，∴x＋x2＋y2＝2，y＝1，解得x＝34，y＝1，∴z＝34＋i.∴z的虚部为1．二、填空题6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝__5__.[解析]|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝32＋42＝5．7．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__－1＋10i__.[解析]∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，∴x＋3＝5，2－y＝－6，即x＝2，y＝8，∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.8．已知|z|＝5，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝__2±i__.[解析]设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i.由题意知x－2＝0，y＋4≠0，x2＋y2＝5，∴x＝2，y＝1或x＝2，y＝－1，∴z＝2±i.三、解答题9．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2．[解析]z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，又∵z＝13－2i，且x，y∈R，∴5x－3y＝13，x＋4y＝－2，解得x＝2，y＝－1，∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.10．(1)若|z1|＝|z2|＝1，且|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.(2)设向量OZ1→及OZ2→在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来.[解析](1)|z1＋z2|和|z1－z2|是以OZ1→和OZ2→为两邻边的平行四边形的两条对角线的长.如图所示，由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，知四边形为正方形，∴另一条对角线的长|z1－z2|＝2.(2)z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.如图所示，Z2Z1→即为z1－z2所对应的向量.根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量OZ1→，OZ2→的终点，并指向被减数的向量Z2Z1→所对应的复数.B组·素养提升一、选择题1．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于(D)A．－3B．3C．－3iD．3i[解析]设z＝x＋yi，x，y∈R，则z＋3i＝x＋(y＋3)i.因为z＋3i是纯虚数，所以x＝0，y＋3≠0.又因为|z|＝x2＋y2＝3，解得x＝0，y＝3，即z＝3i.2．□ABCD中，点A、B、C分别对应复数4＋i、3＋4i、3－5i，则点D对应的复数是(C)A．2－3iB．4＋8iC．4－8iD．1＋4i[解析]AB→对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，设点D对应的复数为z，则DC→对应的复数为(3－5i)－z.由平行四边形法则知AB→＝DC→，∴－1＋3i＝(3－5i)－z，∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C．3．(2020·福州高二检测)已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为(C)A．1B．2C．－2D．－2或1[解析]由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得a2－2＋a＝0，a2－3a＋2≠0⇒a＝－2．4．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是(D)A．3B．4C．5D．6[解析]因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是32＋42＋1＝6．二、填空题5．(2020·大连高二检测)在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为z0＝0，zA＝2＋a2i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为__－4__.[解析]因为OA→＋OC→＝OB→，所以2＋a2i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以2－b＝－2a，a2＋a＝3，得a－b＝－4．6．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝22，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为__22__.[解析]由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝22.三、解答题7．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积.[解析](1)因为向量BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i，所以向量AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC→＝OA→＋AC→，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为AD→＝BC→，所以向量AD→对应的复数为3－i，即AD→＝(3，－1).设D(x，y)，则AD→＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，所以x－2＝3，y－1＝－1，，解得x＝5，y＝0.所以点D对应的复数为5．(2)因为BA→·BC→＝|BA→||BC→|cosB，所以cosB＝BA→·BC→|BA→||BC→|＝3－25×10＝210.所以sinB＝7210.所以S＝|BA→||BC→|sinB＝5×10×7210＝7，所以平行四边形ABCD的面积为7．8．已知|z|＝2，求|z＋1＋3i|的最大值和最小值.[解析]设z＝x＋yi，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，∴|z＋1＋3i|表示圆上的点到点(－1，－3)的距离.又∵点(－1，－3)在圆x2＋y2＝4上，∴圆上的点到点(－1，－3)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋3i|的最大值和最小值分别为4和0．