新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业731732复数的三角表示式复数乘除运算的三角表

第七章7.37.3.17.3.2A组·素养自测一、选择题1．设复数z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)，其中a，b∈R，a2＋b2＝r，argz＝θ，下列说法正确的是(D)A．r0，θ∈[0,2π)B．r≥0，θ∈(0,2π)C．r∈R，θ∈(－π，π)D．r≥0，θ∈[0,2π)[解析]由复数三角形式的特征知，r≥0,0≤θ2π.故选D．2．复数－2cosπ5＋isinπ5辐角的主值是(C)A．π5B．4π5C．6π5D．9π5[解析]解法1：∵－2cosπ5＋isinπ5＝2cos6π5＋isin6π5，∴辐角的主值为6π5，故选C．解法2：复数对应点在第三象限，∴辐角主值是第三象限角.3．将代数形式的复数z＝2i改写成三角形式为(D)A．2＋cosπ2＋isinπ2B．2cosπ2－isinπ2C．2sinπ2＋icosπ2D．2cosπ2＋isinπ2[解析]因为2i在复平面内所对应的点在y轴正半轴上，所以易知|2i|＝2，arg(2i)＝π2，从而可知2i＝2cosπ2＋isinπ2.4．复数3－i的辐角主值为(D)A．π6B．5π6C．7π6D．11π6[解析]∵3－i＝232－12i＝2cos11π6＋isin11π6，又∵11π6∈[0,2π)，故3－i辐角的主值为11π6.5．复数(sin10°＋icos10°)(sin10°＋icos10°)的三角形式是(B)A．sin30°＋icos30°B．cos160°＋isin160°C．cos30°＋isin30°D．sin160°＋icos160°[解析]令z＝sin10°＋icos10°，其三角形式为z＝cos80°＋isin80°，所以z·z＝(cos80°＋isin80°)2＝cos160°＋isin160°，故选B．二、填空题6．设z＝3－i，对应的向量为OZ→，将OZ→绕点O按逆时针方向旋转30°，则所得向量对应的复数为__2__.[解析]根据复数乘法的几何意义，所得向量对应的复数为：(3－i)(cos30°＋isin30°)＝(3－i)32＋12i＝2．7．计算下列式子，写出其结果的代数形式：5cosπ6＋isinπ6·2cosπ4＋isinπ4＝__56－522＋56＋522i__.[解析]5cosπ6＋isinπ6·2cosπ4＋isinπ4＝10cos5π12＋isin5π12＝106－24＋6＋24i＝56－522＋56＋522i.8．计算(cos40°＋isin40°)÷(cos10°＋isin10°)＝__32＋12i__.[解析](cos40°＋isin40°)÷(cos10°＋isin10°)＝cos(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos30°＋isin30°＝32＋12i.三、解答题9．把下列复数表示成三角形式.(1)5；(2)i；(3)12＋32i；(4)－1－3i；(5)33－3i；(6)－4＋3i.[解析](1)5＝5(cos0＋isin0)；(2)i＝cosπ2＋isinπ2；(3)12＋32i＝cosπ3＋isinπ3；(4)－1－3i＝2－12－32i＝2cos4π3＋isin4π3；(5)33－3i＝632－12i＝6cos11π6＋isin11π6；(6)－4＋3i＝5－45＋35i＝5(cosθ＋isinθ)(其中tanθ＝－34).10．已知z＝1＋i，求复数ω＝z2－3z＋6z＋1的模和辐角主值，并写出复数的三角形式.[解析]∵z＝1＋i，∴ω＝z2－3z＋6z＋1＝1＋i2－31＋i＋61＋i＋1＝3－i2＋i＝1－i，∴|ω|＝2，1－i对应的点在第四象限且tanθ＝－1，∴ω辐角的主值为7π4，∴复数ω的三角形式为ω＝2cos7π4＋isin7π4.B组·素养提升一、选择题1．(多选)复数z＝3＋3i化为三角形式正确的是(AD)A．z＝23(cosπ6＋isinπ6)B．z＝23(cosπ6－isinπ6)C．z＝23(cos7π6＋isin7π6)D．z＝23(cos13π6＋isin13π6)[解析]z＝3＋3i＝23(32＋12i)＝23(cosπ6＋isinπ6)＝23(cos13π6＋isin13π6)，故选AD．2．设复数2＋i和－3－i的辐角主值分别是α，β，则tan(α＋β)等于(D)A．3B．－33C．－1D．1[解析]因为复数2＋i和－3－i的辐角主值分别是α，β，所以tanα＝12，tanβ＝13，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1．3．向量OZ1→，OZ2→，分别对应非零复数z1，z2，若OZ1→⊥OZ2→，则z1z2是(B)A．负实数B．纯虚数C．正实数D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)[解析]设复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，由于OZ1→⊥OZ2→，所以z1z2＝r1cosθ1＋isinθ1r2cosθ2＋isinθ2＝r1r2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]＝r1r2[cos(±90°)＋isin(±90°)]＝±r1r2i，即z1z2为纯虚数.故选B．4．设πθ5π4，则复数cos2θ＋isin2θcosθ－isinθ的辐角主值为(B)A．2π－3θB．3θ－2πC．3θD．3θ－π[解析]cos2θ＋isin2θcosθ－isinθ＝cos2θ＋isin2θcos－θ＋isin－θ＝cos3θ＋isin3θ.∵πθ5π4，∴3π3θ15π4，∴π3θ－2π7π4，则辐角主值为3θ－2π.故选B．二、填空题5．复数z＝(a＋i)2的辐角主值为3π2，则实数a＝__－1__.[解析]由于复数z的辐角主值为3π2，故z＝rcos3π2＋isin3π2＝－ir，又z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai，所以a2－1＋2ai＝－ir，所以a2－1＝0,2a＝－r，故a＝－1．6．4cosπ4＋isinπ4＝__22－22i__.[解析]4cosπ4＋isinπ4＝4cos0＋isin0cosπ4＋isinπ4＝4cos－π4＋isin－π4＝422－22i＝22－22i.三、解答题7．若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1，z2，z3，满足z22＝z1z3且z2＋iz3－i＝0，求复数z1，z2，z3．[解析]设z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，z3＝cosγ＋isinγ，则由z2＋iz3－i＝0，可得cosβ－sinγ＝0，sinβ＋cosγ－1＝0.利用cos2β＋sin2β＝1，解得cosγ＝12，sinγ＝±32.所以，z3＝1±3i2.当z3＝1＋3i2时，z2＝－i(z3－1)＝3＋i2，z1＝z22z3＝1；当z3＝1－3i2时，z2＝－i(z3－1)＝－3＋i2，z1＝z22z3＝1．8．计算3＋icosπ3＋isinπ3sinπ3＋icosπ3的值.[解析]3＋icosπ3＋isinπ3sinπ3＋icosπ3＝2cosπ6＋isinπ6cosπ3＋isinπ3cosπ6＋isinπ6＝2cosπ6＋π3＋isinπ6＋π3cosπ6＋isinπ6＝2cosπ2＋isinπ2cosπ6＋isinπ6＝2cosπ3＋isinπ3＝1＋3i.