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第八章8.2A组·素养自测一、选择题1．AB＝2CD，AB∥x轴，CD∥y轴，已知在直观图中，AB的直观图是A′B′，CD的直观图是C′D′，则(C)A．A′B′＝2C′D′B．A′B′＝C′D′C．A′B′＝4C′D′D．A′B′＝12C′D′[解析]∵AB∥x轴，CD∥y轴，∴AB＝A′B′，CD＝2C′D′，∴A′B′＝AB＝2CD＝2(2C′D′)＝4C′D′.2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是(B)A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B．平行四边形的直观图仍是平行四边形C．两条相交直线的直观图可能是平行直线D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直[解析]平行四边形的边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B正确.3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是(C)A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形[解析]将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示.由题意知O′D′＝2O′C′＝22cm，OD＝2O′D′＝42cm，C′D′＝O′C′＝2cm，∴CD＝2cm，OC＝CD2＋OD2＝6cm，又OA＝O′A′＝6cm＝OC，∴原图形为菱形.4．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(A)[解析]由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍.故可判断A正确.5．如图Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝2，则这个平面图形的面积是(C)A．1B．2C．22D．42[解析]由直观图可知，原平面图形是Rt△OAB，其中OA⊥OB，则OB＝O′B′＝2，OA＝2O′A′＝4，∴S△OAB＝12OB·OA＝22，故选C．二、填空题6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为__M′(4,2)__，点M′的找法是__在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′__.[解析]在x′轴的正方向上取点M1，使O1M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.7．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是__10__.[解析]由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝AC2＋BC2＝10．8．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为__10__.[解析]由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10．三、解答题9．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.[解析]在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，在直观图中，O′D′＝12OD，梯形的高D′E′＝24，于是梯形A′B′C′D的面积为12×(1＋2)×24＝328.10．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为4cm，圆锥的高为3cm，画出此几何体的直观图.[解析](1)画轴.如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3cm，且OA＝OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′，使OO′＝4cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3cm.(4)成图.连接A′A、B′B、PA′、PB′，整理得到此几何体的直观图.如图2所示.B组·素养提升一、选择题1．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是(C)①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.A．0B．1C．2D．3[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都可能会发生改变，∴②③错.2．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的(C)[解析]按斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的12，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，将图形还原成原图形知选C．3．已知正三角形ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(D)A．3B．32C．62D．64[解析]根据题意，建立如图1所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图2中△A′B′C′所示.易知，A′B′＝AB＝2，O′C′＝12OC＝32.过点C′作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝22O′C′＝64.所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×2×64＝64.4．(多选)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中以下说法正确的是(ACD)A．△ABC是直角三角形B．AC长为6C．BC长为8D．AB边上的中线长为732[解析]由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝73，AB边上的中线长度为732.故选ACD．二、填空题5．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是__AC__.[解析]画出原图形如图所示，△ABC为直角三角形，显然，AC边最长.6．(2020·湖南省永州市高一期中)水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为__52__.[解析]由直观图可知，原平面图形是边AC＝3，边BC＝4的直角三角形ABC，故AB边上的中线长为12×32＋42＝52.三、解答题7．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积.题图答图[解析]如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝22cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1cm.顺次连接O，A，B，C各点，即得到了原图形.由作法可知，OABC为平行四边形，OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3(cm)，∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8(cm)，面积为1×22＝22(cm2).8．用斜二测画法画出底面边长为1.4cm高为0.9cm的正四棱锥的直观图.[解析](1)画轴，如图1画x′轴，y′轴，z′轴使得∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面以点O′为中心，在x′轴上画MN＝1.4cm，在y′轴上画PQ＝0.7cm，分别过点M，N作y′轴的平行线，过点P，Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为ABCD，则四边形ABCD就是该棱锥的底面.(3)画高确定顶点，在z′轴上截取O′S＝0.9cm.(4)连线成图，连接SA，SB，SC，SD(注意区别实线和虚线)，去掉辅助线，就得到了正四棱锥的直观图，如图2所示.