新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业831棱柱棱锥棱台的表面积和体积Word版含解析

第八章8.38.3.1A组·素养自测一、选择题1．若正方体的表面积为96，则正方体的体积为(B)A．486B．64C．16D．96[解析]设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64．2．将一正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的(B)A．12B．13C．23D．14[解析]设正方体的棱长为1，已知截去的每一个角都是一个三棱锥，且每个三棱锥的体积都等于16，因此截去的四个三棱锥的体积为23，则剩余的四面体的体积为13.3．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(B)A．6a2B．12a2C．18a2D．24a2[解析]原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为13a，其表面积为6×13a2＝23a2，总表面积S2＝27×23a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2．4．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(B)A．26B．23C．33D．23[解析]由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有的棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为22，故正八面体的体积V＝2V正四棱锥＝2×13×12×22＝23.故选B．5．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么V1︰V2＝(A)A．7︰5B．6︰5C．8︰3D．4︰3[解析]设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF＝14S，所以V1＝13hS＋14S＋S·S4＝712Sh，V2＝V－V1＝512Sh.所以V1︰V2＝7︰5．二、填空题6．已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为__6__.[解析]设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则ab＝2，ac＝3，bc＝6，三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝6.7．如图所示的三棱柱中，两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，则该几何体的表面积为__24＋23__.[解析]该三棱柱的表面积为2×12×2×3＋3×(4×2)＝24＋23.8．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为__16__.[解析]V三棱锥A－DED1＝V三棱锥E－DD1A＝13×12×1×1×1＝16.三、解答题9．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积.[解析]如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.∵S侧＝2S底，∴3×12a×h′＝2×34a2．∴a＝3h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2．∴32＋36×3h′2＝h′2．∴h′＝23，∴a＝3h′＝6．∴S底＝34a2＝34×62＝93，S侧＝2S底＝183.∴S表＝S侧＋S底＝183＋93＝273.10．如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高.若VM＝4cm，AB＝4cm，VC＝5cm，求锥体的体积.[解析]∵VM是棱锥的高，∴VM⊥MC.在Rt△VMC中，MC＝VC2－VM2＝52－42＝3(cm)，∴AC＝2MC＝6(cm).在Rt△ABC中，BC＝AC2－AB2＝62－42＝25(cm).S底＝AB·BC＝4×25＝85(cm2)，∴V锥＝13S底h＝13×85×4＝3253(cm3).∴棱锥的体积为3253cm3．B组·素养提升一、选择题1．(2020·江苏高一期中)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为(B)A．80B．240C．320D．640[解析]由题意可知，该棱台的侧面为上、下底边长分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，则该等腰梯形的高为102－16－422＝8．∴等腰梯形的面积为12×(4＋16)×8＝80，∴该棱台的侧面积S＝3×80＝240．故选B．2．(2020·河北高一月考)某六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧面是矩形，侧棱长为4，则其表面积为(B)A．12＋123B．48＋123C．64＋63D．72＋63[解析]由题意知该六棱柱的侧面面积为4×2×6＝48，上、下底面的面积均为12×2×2×32×6＝63，所以全面积等于48＋123.故选B．3．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为153，则正三棱台的侧面积S1与底面面积之和S2的大小关系为(A)A．S1S2B．S1S2C．S1＝S2D．以上都不是[解析]斜高h′＝1532＋364－22＝2，S1＝12(C＋C′)h′＝12(3×2＋3×4)×2＝92，S2＝34×22＋34×42＝53，所以S1S2．4．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为(A)A．32B．48C．64D．323[解析]如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为斜高，则OE＝12PE，因为OE＝12AB＝2，所以PE＝4，则S侧＝4×12×4×4＝32．二、填空题5．(2020·江苏省扬州市检测)若正四棱锥的底面边长为22cm，体积为8cm3，则它的侧面面积为__422__cm2．[解析]∵该正四棱锥的底面边长为22cm，体积为8cm3，∴该四棱锥的高为3cm，∴侧面等腰三角形的高为32＋22＝11(cm)，故S侧＝4×12×22×11＝422(cm2).6．(2020·山东济南高一学习质量评估)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，CE＝2EP.若三棱锥P－EBD的体积为V1，三棱锥P－ABD的体积为V2，则V1V2的值为__13__.[解析]设四棱锥P－ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，则V2＝13×12Sh＝16Sh.因为CE＝2EP，所以PE＝13PC，所以V1＝VE－PBD＝13VC－PBD＝13VP－BCD＝13×16Sh＝118Sh，所以V1V2＝118Sh16Sh＝13.三、解答题7．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.[解析]设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，则长方体ABCD­A′B′C′D′的体积V＝abc，又S△A′DD′＝12bc，且三棱锥C­A′DD′的高为CD＝a.∴V三棱锥C­A′DD′＝13S△A′DD′·CD＝16abc.则剩余部分的几何体体积V剩＝abc－16abc＝56abc.故V棱锥C­A′DD′∶V剩＝16abc∶56abc＝1∶5．8．(2020·河北高一月考)如图，已知正六棱锥P－ABCDEF的表面积为183，且AB＝2，求正六棱锥P－ABCDEF的体积.[解析]取AB的中点M，连接OM，MP，如图.∵AB＝2，∴OM＝3，S△OAB＝12×2×3＝3，∴S底＝63.由该正六棱锥的表面积为183，可得S△PAB＝(183－63)÷6＝23.又由S△PAB＝12AB·PM＝23，得PM＝23，∴PO＝PM2－OM2＝232－32＝3．∴VP－ABCDEF＝13×63×3＝63.