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第八章8.48.4.1A组·素养自测一、选择题1．若一直线a在平面α内，则正确的表示图形是(A)[解析]选项B、C、D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内.2．如图所示，下列符号表示错误的是(A)A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α[解析]观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的.3．下面四个说法(其中A、B表示点，a表示直线，α表示平面)：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∉α，∴AB∉α；③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α.其中表述方式和推理都正确的结论的序号是(C)A．①④B．②③C．④D．③[解析]①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊄α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确.4．(2019～2020安徽蚌埠高二期中)三条两两平行的直线可以确定平面的个数为(D)A．0B．1C．0或1D．1或3[解析]当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面.5．(多选)空间不共线的四点，可以确定平面的个数可能是(BD)A．0B．1C．2D．4[解析]若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点，可以确定平面的个数为1个；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4．故空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4个.故选BD．6．如图所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A、B、C三点的平面为γ，则β∩γ等于(C)A．直线ACB．直线BCC．直线CRD．以上都不对[解析]由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.二、填空题7．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有__5__条.[解析]由图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条.8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是__(2)(3)(4)__(填序号).(1)直线AC1在平面CC1B1B内.(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．(3)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1．(4)由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面.[解析](1)错误.如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B.(2)正确.如图所示.因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面.三、解答题9．如图，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线.[证明]因为AB∥CD，所以AB，CD可确定一个平面，设为平面β，所以AC在平面β内，即点E在平面β内.而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知点B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据基本事实3可得，B，D，E三点共线.10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：(1)E、C、D1、F、四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点.[解析](1)分别连接EF、A1B、D1C，∵E、F分别是AB和AA1的中点，∴EF∥A1B且EF＝12A1B.又∵A1D1B1C1BC，∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1．EF与CD1确定一个平面.∴E、F、D1、C四点共面.(2)∵EF12CD1，∴直线D1F和CE必相交.设D1F∩CE＝P，∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.又CE⊂平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点.而平面ABCD∩平面AA1D1D＝直线AD，∴P∈直线AD(公理3)，∴直线CE、D1F、DA三线共点.B组·素养提升一、选择题1．空间中四点可确定的平面有(D)A．1个B．3个C．4个D．1个或4个或无数个[解析]当四个点在同一条直线上时，经过这四个点的平面有无数个；当这四个点为三棱锥的四个顶点时，可确定四个平面；当这四个点为平面四边形的四个顶点时，确定一个平面；当其中三点共线于l，另一点不在直线l上时，也确定一个平面，故选D．2．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个结论，其中正确的结论是(D)①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④[解析]当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D．3．经过同一直线上的3个点的平面(C)A．有且只有1个B．有且只有3个C．有无数个D．只有0个[解析]因3个点在同一条直线，所以经过该直线的平面都满足条件，故选C．4．下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(D)[解析]在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P、Q、R、S共面，故选D．二、填空题5．若直线l与平面α相交于点O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，则O、C、D三点的位置关系是__共线__.[解析]∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O、C、D三点共线.6．已知α、β是不同的平面，l、m、n是不同的直线，P为空间中一点.若α∩β＝l，m⊂α、n⊂β、m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为__P∈l__.[解析]因为m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l.7．给出以下结论：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确结论的个数是__0__.[解析]如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AD与A′B′都与直线AA′相交，但是直线AD与A′B′不在同一平面内，故①错误；在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线AB，AD，AA′两两相交，但是这三条直线不在同一平面内，故②错误；当两个平面相交时，两个平面可有无数个公共点，只有当两个平面有三个不共线的公共点时，两个平面才重合，故③错误；两两平行的三条直线也可能在同一平面内，故④错误.综上可知，正确结论的个数是0．三、解答题8．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出直线l的位置；(2)设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长.[解析](1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置.(2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1，∴AD＝A1E＝A1D1＝a.∵A1P∥D1N，且D1N＝12a，∴A1P＝12D1N＝14a，于是PB1＝A1B1－A1P＝a－14a＝34a.