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第八章8.58.5.1A组·素养自测一、选择题1．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(B)A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．无法判断[解析]由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似.2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(B)A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面[解析]若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1，l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对.虽然l1∥l2∥l3，或l1，l2，l3共点，但l1，l2，l3可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确.3．如图，用正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(D)A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行[解析]连接DC1，可知MN是△C1DB的中位线，所以MN∥BD，BD与A1B1不平行，所以MN不可能与A1B1平行.4．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是(A)A．0B．1C．2D．3[解析]对于①，c与a可以相交；对于②，b和c可以异面；对于③，b与c可以相交，也可以异面.5．(多选)下列四面体中，直线EF与MN不可能平行的是(ABD)[解析]根据过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面，可判定A，B中EF，MN异面；C中直线EF与MN平行；D中，若EF∥MN，则过EF的平面与底面相交，EF就跟交线平行，则过点N有两条直线与EF平行，不可能.故选ABD．二、填空题6．如图，AA′是长方体ABCD－A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有__3__条.[解析]∵四边形ABB′A′、ADD′A′均为长方形，∴AA′∥BB′，AA′∥DD′.又四边形BCC′B′为长方形，∴BB′∥CC′，∴AA′∥CC′.故与AA′平行的棱共有3条，它们分别是BB′，CC′，DD′.7．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若AEAB＝AHAD＝12，CFCB＝CGCD＝13，则四边形EFGH形状为__梯形__.[解析]如右图在△ABD中，∵AEAB＝AHAD＝12，∴EH∥BD且EH＝12BD.在△BCD中，∵CFCB＝CGCD＝13，∴FG∥BD且FG＝13BD，∴EH∥FG且EHFG，∴四边形EFGH为梯形.8．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是__平行__.[解析]如图所示，MN12AC，又∵ACA′C′，∴MN12A′C′.三、解答题9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.求证：BFED1．[证明]如图，取BB1的中点G，连接GC1，GE.∵F为CC1的中点，∴BGC1F，∴四边形BGC1F为平行四边形，∴BFGC1．又∵EGA1B1，A1B1D1C1，∴EGD1C1，∴四边形EGC1D1为平行四边形，∴ED1GC1，∴BFED1．10．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点.求证：∠NMP＝∠BA1D.[解析]如图，连接CB1、CD1，∵CDA1B1，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C.∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.∵BCA1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1．∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，∴MP∥A1B，∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，∴∠NMP＝∠BA1D.B组·素养提升一、选择题1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是边AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(C)A．相交B．异面C．平行D．垂直[解析]如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点.由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C．2．如图，在三棱锥PABC中，E，F，G，H，I，J分别为线段PA，PB，PC，AB，BC，CA的中点，则下列说法正确的是(C)A．PH∥BGB．IE∥CPC．FH∥GJD．GI∥JH[解析]由题意结合三角形中位线的性质，可得FH∥PA，GJ∥PA，由平行公理可得FH∥GJ.3．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是(B)A．5B．10C．12D．不能确定[解析]如图所示，由三角形中位线的性质可得EH12BD，FG12BD，再根据基本事实4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10．故选B．4．如图，在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是(D)A．M，N，P，Q四点共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四边形MNPQ为梯形[解析]由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；由三角形的中位线定理，知MQ12BD，NP12BD，所以MQNP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确.二、填空题5．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b.其中正确的命题是__①__(填序号).[解析]由基本事实4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确.6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB∥CM；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为__①②__.[解析]把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确.三、解答题7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.[解析]如图所示，在平面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.8．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC12AD，BE12FA，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[解析](1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH12AD.又BC12AD，∴GHBC，∴四边形BCHG为平行四边形.(2)由BE12AF，G为FA的中点知，BEFG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BGCH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面.又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.