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第八章8.58.5.2A组·素养自测一、选择题1．若l∥α，m⊂α，则l与m的关系是(D)A．l∥mB．l与m异面C．l与m相交D．l与m无公共点[解析]l与α无公共点，∴l与m无公共点.2．下列结论：①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行.其中正确结论的个数为(B)A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错.3．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE︰EB＝AF︰FD＝1︰4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则(B)A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形[解析]由AE︰EB＝AF︰FD＝1︰4知，EF∥BD，且EF＝15BD，又∵EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD，又点H，G分别为BC，CD的中点，∴HG∥BD且HG＝12BD，∴EF∥HG且EF≠HG，故选B．4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是(A)A．平行B．相交C．异面D．平行或异面[解析]由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.5．(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是(BCD)[解析]B选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选BCD．二、填空题6．如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M、N分别是BF、BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是__平行__.[解析]∵M、N分别是BF、BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.7．已知直线b，平面α，有以下条件：①b与α内一条直线平行；②b与α内所有直线都没有公共点；③b与α无公共点；④b不在α内，且与α内的一条直线平行.其中能推出b∥α的条件有__②③④__.(把你认为正确的序号都填上)[解析]①中b可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b∥α.8．(2020·扬州高二检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是__l∥A1C1__.[解析]∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，∴AC∥平面A1B1C1D1．又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，∴AC∥l，又∵AC∥A1C1，∴l∥A1C1．三、解答题9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点.求证：直线EG∥平面BDD1B1．[解析]如图所示，连接SB.∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．10．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D.[证明]连接AC1，设AC1∩A1C＝E，则E为AC1的中点，又D为AB的中点，∴DE∥BC1．∵DE⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.B组·素养提升一、选择题1．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a、b、c、…，那么这些交线的位置关系为(D)A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点[解析]若l∥平面α，则交线都平行；若l∩平面α＝A，则交线都交于同一点A.2．如图，在三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则(B)A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能[解析]∵EF⊂平面SBC，EF∥平面ABC，平面SBC∩平面ABC＝BC，∴EF∥BC.3．不同直线m、n和不同平面α、β，给出下列结论：①α∥βm⊂α⇒m∥β；②m∥nm∥β⇒n∥β；③m⊂αn⊂β⇒m、n异面.其中错误的结论有(C)A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]∵α∥β，∴α与β没有公共点.又∵m⊂α，∴m与β没有公共点，∴m∥β，故①正确，②③错误.4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC、AC于点E、F，则(B)A．MF∥NEB．四边形MNEF为梯形C．四边形MNEF为平行四边形D．A1B1∥NE[解析]∵在□AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AMBN，∴MNAB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形.故选B．二、填空题5．如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE︰EB＝__m︰n__.[解析]∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝BEABm.同理，EH＝FG＝AEABn，∴BEABm＝AEABn，∴AE︰EB＝m︰n.6．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件__P是CC1中点(答案不唯一)__时，A1P∥平面BCD.[解析]如图，取CC1中点P，连接A1P.∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，∴当点P是CC1中点时，A1P∥CD.∵A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴A1P∥平面BCD.三、解答题7．如图，在三棱台DEF－ABC中，由AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.求证：BD∥平面FGH.[证明]如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，由AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC且DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD.因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.8．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.证明：EF∥B1C.[解析]由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D.又A1D⊂平面A1DFE，B1C⊄平面A1DFE，于是B1C∥平面A1DFE.又B1C⊂平面B1CD1，平面A1DFE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.