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第八章8.58.5.3A组·素养自测一、选择题1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是(A)A．AC∥截面BA1C1B．AC与截面BA1C1相交C．AC在截面BA1C1内D．以上答案都错误[解析]∵AC∥A1C1，又∵AC⊄面BA1C1，∴AC∥面BA1C1．2．下列结论正确的是(C)①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.A．①③B．②④C．③④D．②③④[解析]如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线.对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在.对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同①.对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.这是两个平面平行的定义.对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.这是两个平面平行的判定定理.所以只有③④正确，选择C．3．已知直线l、m，平面α、β，下列结论正确的是(D)A．l∥β，l⊂α⇒α∥βB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β[解析]如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确.4．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是(B)A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能[解析]∵A1B1∥AB，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.又A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1．又AB∥A1B1，∴DE∥AB.5．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′︰AA′＝2︰3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为(D)A．2︰5B．3︰8C．4︰9D．4︰25[解析]∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′︰AA′＝2︰3，∴A′B′︰AB＝PA′︰PA＝2︰5．同理B′C′︰BC＝A′C′︰AC＝2︰5．∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′︰S△ABC＝4︰25．二、填空题6．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是__平行__(填“平行”或“相交”).[解析]假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则MNAC＝__12__.[解析]∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，∴MN＝12AC，即MNAC＝12.8．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD分别交平面α于E、F、G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝__209__.[解析]∵a∥α，α∩平面ABD＝EG，∴a∥EG，即BD∥EG，∴EGBD＝AFAF＋FC，则EG＝AF·BDAF＋FC＝5×45＋4＝209.三、解答题9．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点.求证：平面AFH∥平面PCE.[解析]因为F为CD的中点，H为PD的中点，所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.由FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?[解析]当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.而QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，∴QB∥平面PAO.连接DB，∵P、O分别为DD1，DB的中点，∴PO为△DBD1的中位线，∴D1B∥PO.而D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，∴D1B∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.B组·素养提升一、选择题1．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个结论.①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；③α∥c，β∥c⇒α∥β；④α∥γ，β∥γ⇒α∥β；⑤α∥c，a∥c⇒α∥a；⑥a∥γ，α∥γ⇒α∥a.其中正确的结论是(C)A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④[解析]①平行公理.②两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面.③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行.④面面平行传递性.⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面或平行或直线在平面内.⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平面可平行也可能直线在平面内.故①④正确.2．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为(B)A．352B．92C．98D．358[解析]取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN＝12BC1＝2，MC1＝BN＝5，所以梯形的高为32，所以梯形的面积为12(2＋22)×32＝92.3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数是(D)A．0B．2C．4D．6[解析]连接EG，EH，EF，FG，GH，∵EH∥FG且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴E，F，G，H四点共面.由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，EG⊂平面EFGH，EH⊂平面EFGH，AB′⊂平面AB′D′，AD′⊂平面AB′D′，可得平面EFGH∥平面AB′D′.故平面EFGH内的每条直线都符合条件.故选D．4．(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是(ACD)A．AE∥平面C1BDB．四面体ACEF的体积不为定值C．三棱锥A－BEF的体积为定值D．四面体ACDF的体积为定值[解析]对于A，如图1，AB1∥DC1，易证AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE⊂平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确；对于B，如图2，S△AEF＝12EF·h1＝12×1×32＋3222＝364，点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，所以VA－CEF＝VC－AEF＝13×364×d＝64d为定值，所以B错误；对于C，如图3，S△BEF＝12×1×3＝32，点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d为定值，所以VA－BEF＝13×32×d＝12d为定值，C正确；对于D，如图4，四面体ACDF的体积为VA－CDF＝VF－ACD＝13×12×3×3×3＝92为定值，D正确.故选ACD．二、填空题5．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F、G、H分别为PA、PD、PC、PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②BC∥平面PAD；③AB∥平面PCD；④平面PAD∥平面PAB.其中正确的有__①②③__.(填序号)[解析]把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交.∵AB∥CD，∴AB∥平面PCD.同理平面BC∥PAD.6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足__点M在FH上__时，有MN∥平面B1BDD1．[解析]∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H，∴平面FHN∥平面B1BDD1，又平面FHN∩平面EFGH＝FH，∴当M∈FH时，MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1．三、解答题7．如图所示，P为□ABCD所在平面外一点，点M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面PAD是否平行？证明你的结论.[解析](1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD.又因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l.(2)MN∥平面PAD.证明如下：如图所示，取PD的中点E，连接NE、AE，所以NE∥CD，NE＝12CD.而CDAB，M为AB的中点，所以NE∥AM，NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.8．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.[解析]因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.