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第八章8.68.6.1A组·素养自测一、选择题1．正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则直线B′M与CN(C)A．平行B．相交且垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直[解析]由题意画出图后，直线B′M与CN为异面直线且B′M⊥CN.2．设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b(D)A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能[解析]空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有(D)A．2条B．4条C．6条D．8条[解析]在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条.4．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是(D)A．梯形B．矩形C．平行四边形D．正方形[解析]∵E、F、G、H分别为中点，如图.∴FGEH12BD，HGEF12AC，又∵BD⊥AC且BD＝AC，∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四边形EFGH为正方形.5．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(A)A．30°B．45°C．60°D．90°[解析]取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A．二、填空题6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是__90°__；(2)AC和D1C1所成的角是__45°__；(3)AC和B1D1所成的角是__90°__；(4)AC和A1B所成的角是__60°__.[解析](1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°.(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有__AB，A1B1__.[解析]由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1．8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角大小为__60°__.[解析]连接BC1，A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角(或其补角).在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，即异面直线A1B与AD1所成的角为60°.三、解答题9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和EF所成的角.[解析]连接BC1，A1C1，A1B，如图所示.根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角).∵BC1＝A1C1＝A1B，∴△A1C1B为等边三角形，故∠A1C1B＝60°，即异面直线AC和EF所成的角为60°.10．如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2．求EF的长度.[解析]取BC的中点M，连接ME，MF，如图.则ME∥AC，MF∥BD，∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝12BD＝1；当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，则MN⊥EF，∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×32＝3.故EF的长度为1或3.B组·素养提升一、选择题1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是(C)A．60°B．75°C．90°D．105°[解析]解法1：设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角).连接AC2，因为AB1＝3，B1C2＝3，AC2＝6，所以AC22＝AB21＋B1C22，则∠AB1C2＝90°.解法2：补成四棱柱亦得.2．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(D)A．15B．25C．35D．45[解析]如图，连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角或其补角.连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝45.3．点E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角为(D)A．60°B．45°C．30°D．90°[解析]如图，取PB的中点G，连接EG、FG，则EG12AB，GF12PC，则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，在△EFG中，EG＝12AB＝3，FG＝12PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝90°.4．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于(A)A．5B．6C．8D．10[解析]如图，取AD的中点P，连接PM、PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝12AC＝4，PM＝12BD＝3，∴MN＝5．二、填空题5．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有__1__条.[解析]与AD1异面的面对角线分别为：A1C1、B1C、BD、BA1、C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.6．(2020·广东省肇庆市期中)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝2，则异面直线A1C与B1C1所成的角为__60°__.[解析]依题意，得BC∥B1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝2，故∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.三、解答题7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.[解析](1)如图所示，连接AC，AB1．由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.8．如图所示，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.[解析](1)如题图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)如图，连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形.所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点.所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.