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第八章习题课A组·素养自测一、选择题1．分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为(B)A．平行B．相交C．异面D．垂直[解析]因为两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交.2．已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是(C)A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC[解析]由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意.3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE︰EB＝CF︰FB＝1︰2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是(A)A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定[解析]如图，由AEEB＝CFFB得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF.4．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(D)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α[解析]对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，不符合题意；同理，选项B、C也不符合题意；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件，故选D．5．(多选题)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值.其中正确的命题是(ACD)A．①B．②C．③D．④[解析]由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，FG⊂平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面).∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V)，∴S△BEF·BC＝V，即12BE·BF·BC＝V.∴BE·BF＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选ACD．二、填空题6．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有__3__个；与AP垂直的直线有__1__个.[解析]∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，又∵AP⊂平面PAC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.7．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且__________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是__①或③__(填序号).[解析]由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.故应填入的条件为①或③.8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是__①③__.[解析]如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC－A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确.三、解答题9．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是AB︵上的点，D为AC的中点.证明：平面POD⊥平面PAC.[证明]如图，连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.[证明](1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1，又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1，又因为A1C1⊥A1B1，A1B1∩AA1＝A1，AA1⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1，因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1∩A1F＝A1，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，所以B1D⊥平面A1C1F，因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.B组·素养提升一、选择题1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是(C)A．若m∥n，m⊂α，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，则m∥nC．若m∥n，m⊥α，则α⊥βD．若α∥β，m⊥n，则m⊥α[解析]对于A，两个平面内各一条直线互相平行，不能保证两个平面互相平行，A错误；对于B，分别在两个互相平行的平面内的两条直线不能保证相互平行，B错误；对于C，两条平行线中的一条垂直于一个平面，可得另一条也垂直于这个平面，于是β内有一条直线垂直于α，故α⊥β，C正确；对于D，m垂直于β内的一条直线，不能保证m垂直于β，故不能得到m垂直于α，D错误.2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB.若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ADD1A1所成角的正弦值为(C)A．63B．22C．33D．13[解析]取DD1的中点G，连接EG、FG、EC1，易知∠FEG为直线EF与平面ADD1A1所成的角，设AB＝a，则AA1＝AD＝2a，在△ED1C1中可求出EC1＝2a，在△EFC1中可求出EF＝3a，所以在△EFG中，sin∠FEG＝FGEF＝33，故选C．3．如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是(D)A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC[解析]因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确.在正四面体P－ABC中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B、C均正确.4．如图所示，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(B)A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′BCD的体积为13[解析]因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因为CD∩A′D＝D，所以BA′⊥平面A′CD，所以∠BA′C＝90°.二、填空题5．已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线PA⊥l，则AP与平面α的位置关系是__AP⊂α__.[解析]设AP与l确定的平面为β.假设AP⊄α，不妨设α∩β＝AM，AP与AM不重合，如图所示.因为l⊥α，AM⊂α，所以l⊥AM.又AP⊥l，所以在平面β内，过点A有两条直线垂直于l，这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以假设不成立.所以AP⊂α.6．如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把△ADC折叠到△ADC′处，使二面角BADC′为60°，则折叠后二面角ABC′D的正切值为__2__.[解析]易知∠BDC′即二面角B－AD－C′的平面角，有∠BDC′＝60°，所以△BDC′为等边三角形.取BC′的中点M，连接DM，AM，则易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A－BC′－D的平面角即∠AMD.在等边三角形ABC中，易知AD＝23，在等边三角形BDC′中，易知DM＝3，所以tan∠AMD＝ADDM＝2．三、解答题7．(江苏高考题)如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.[证明](1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝12PA＝3，EF＝12BC＝4．又因为DF＝5，所以DF2＝DE2＋EF2．所以∠DEF＝90°.即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.8．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.[解析](1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.(3)棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，则FG∥AB，且FG＝12AB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE＝12AB.所以FG∥CE，且FG＝CE.所以四边形CEGF为平行四边形.所以CF∥EG.因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，所以CF∥平面PAE.