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10.1.3古典概型基础预习初探1.抛掷两枚硬币,有哪几种可能结果?每种结果出现的机会是否相等?提示:抛掷两枚硬币有4种可能的结果,是“正正”“反反”“正反”“反正”,它们都是随机事件,每个事件出现的机会是均等的,都为.2.上述试验中,任何两种结果是什么关系?提示:由于任何两种结果都不可能同时发生,所以它们的关系是互斥关系.3.某同学从红、黄、蓝、白4个小球中,任取3个,所有结果有哪些?这个试验有哪些特点?提示:该试验的基本事件有4个:红黄蓝、红黄白、红蓝白、黄蓝白,而且每个基本事件发生的概率都是,是等可能的.1414【概念生成】1.随机事件概率的定义对随机事件发生___________的度量(数值)称为事件的概率.2.古典概型的特点(1)有限性:样本空间的样本点只有_____个.(2)等可能性:每个样本点发生的可能性_____.可能性大小有限相等3.古典概型的概率公式设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=.其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.kn(A)nn()核心互动探究探究点一样本点的计数问题【典例1】(1)列出下列试验中的样本点,并指出样本点的个数(不考虑先后顺序).从字母a,b,c中任意取出两个字母的试验.(2)从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.①写出这个试验的样本空间;②设A为“取出两件产品中恰有一件次品”,用集合表示事件A;③把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余不变,请你回答上述两个问题.【思维导引】根据事件的定义,按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果,列举出来即可.【解析】(1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即样本点,分别是(a,b),(a,c),(b,c)共3个.(2)①这个试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b),(a2,b),(a2,a1),(b,a1),(b,a2)}.②A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.③这个试验的所有可能结果Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b)}.A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.【类题通法】样本点的两个探求方法(1)列举法:把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.(2)树状图法:树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法,树状图法便于分析样本点间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段,树状图法适用于较复杂的试验的题目.【定向训练】有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数,y表示第2个正四面体玩具朝下的点数.试写出下列事件所包含的全部样本点:(1)事件“朝下点数之和大于3”;(2)事件“朝下点数相等”;(3)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”.【解析】这个试验的样本点为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个样本点:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(2)事件“朝下点数相等”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).(3)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个样本点:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4).探究点二古典概型的判断【典例2】(1)下列概率模型中,是古典概型的为______.①从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率;②从1,2,3,…,10中任取一个整数,求取到1的概率;③向一个正方形ABCD内任意投一点P,求点P刚好与点A重合的概率.(2)袋中有形状、大小相同的4个白球,2个黑球,3个红球,每球都有一个区别于其他球的编号,从中摸一个球.①如果把每个球的编号看作一个样本点,建立概率模型,问该模型是否为古典概型?②若以球的颜色为样本点,以这些样本点建立概率模型,该模型是否为古典概型?【思维导引】(1)从有限性和等可能性两个角度考虑.(2)根据古典概型的定义进行判断.【解析】(1)①样本点有无限个.②样本点有10个,等可能发生.③样本点有无限个.答案:②(2)①由于共有9个球,且每个球的编号各不相同,又由于所有球的大小、形状一样,从中摸一个球,是随机选取,因此每个球被摸到的可能性相等.故属于古典概型.②由于9个球共三种颜色,因此共有三个样本点,又由于所有球的大小、形状一样,因此每个球被摸到的可能性相等,而白球4个,故一次摸球摸到白球的可能性为,同理摸到黑球的可能性为,摸到红球的可能性为=.显然三个样本点出现的可能性不等,故不是古典概型.49293913【类题通法】判断古典概型的方法(1)一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性.(2)并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型:①样本点个数有限,但非等可能.②样本点个数无限,但等可能.③样本点个数无限,也不等可能.【定向训练】下列试验中,是古典概型的有()A.某人射击中靶或不中靶B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个C.四位同学用抽签法选一人参加会议D.运动员投篮,观察是否投中【解析】选C.对于A,某人射击中靶与不中靶的可能性不相等,不是古典概型,A错误;对于B,横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个,不是古典概型,B错误;对于C,符合古典概型的定义,是古典概型,C正确;对于D,运动员投篮,投中与没有投中的可能性不等,不是古典概型,D错误.探究点三古典概型的概率计算【典例3】袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球.写出试验的样本空间,判断是否为古典概型并求至少摸到1个黑球的概率.【思维导引】写试验的样本空间时可用树状图,判断古典概型时要紧扣其定义与特征,写出至少摸到1个黑球的样本点,用古典概型概率公式可得概率.【解析】用树状图表示所有的结果为:所以所有样本点是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,且在一次试验中,每个样本点出现的可能性相等,是古典概型.记“至少摸出1个黑球”为事件A,则事件A包含的样本点为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),共7个样本点,所以P(A)==0.7,即至少摸出1个黑球的概率为0.7.710【延伸探究】若从甲、乙、丙、丁中任取2人参加某项活动,在列举样本点时,有人列举为(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(乙,丙)、(乙,丁)、(丙,丁)共6个,还有人列举为(甲,乙)、(乙,甲)、(甲,丙)、(丙,甲)、(甲,丁)、(丁,甲)、(乙,丙)、(丙,乙)、(乙,丁)、(丁,乙)、(丙,丁)、(丁,丙)共12个.既然样本点总数都不相同,他们求某一事件的概率也不相同.这种说法对吗?【解析】不对,如要求A事件:甲入选的概率时.第一种情况下A包含3个样本点,P(A)=;第二种情况下,A包含6个样本点,P(A)=,概率相同.求概率时,其大小与模型的选择无关,但对于此问题,我们倾向于选择第一种情况.316261122【类题通法】1.古典概型概率求法步骤(1)确定样本空间包含的样本点总数n.(2)确定所求事件包含样本点数k.(3)P(A)=.2.使用古典概型概率公式的注意点(1)首先确定是否为古典概型.(2)事件A是什么,包含的样本点有哪些.kn【定向训练】(2020·江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是__________.【解析】总事件数为6×6=36,满足条件的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种,则点数和为5的概率为.答案:4136919【课堂小结】课堂素养达标1.下列关于古典概型的说法中正确的是()①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个样本点出现的可能性相等;④样本点的总数为n,随机事件A若包含k个样本点,则P(A)=.A.②④B.①③④C.①④D.③④【解析】选B.根据古典概型的特征与概率公式进行判断,①③④正确,②中的事件不是只有一个样本点,不正确.kn2.抛掷一枚骰子,出现偶数的样本点的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为抛掷一枚骰子出现数字的样本点有6个,它们分别是1,2,3,4,5,6,故出现偶数的样本点是3个.3.(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.如图,从O,A,B,C,D5个点中任取3个点有{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C},{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D},{A,C,D},{B,C,D}共10种不同取法,3点共线只有{O,A,C}与{O,B,D}共2种情况,由古典概型的概率计算公式知,取到3点共线的概率为=.15251245210154.盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球,则从中随机摸出两只球,则它们的颜色不同的概率是________.【解析】记3只白球分别为A,B,C,1只黑球为m,则从中随机摸出两只球的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,m),(B,C),(B,m),(C,m)},所以n(Ω)=6,其中颜色不同的样本点为(A,m),(B,m),(C,m),所以n=3,故所求概率为=.答案:361212