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10.3频率与概率10.3.1频率的稳定性基础预习初探1.某地“36选7”中国福利彩票的投注方法是,从36个号码中选择7个号码为1注,每注金额为人民币2元.中奖号码由6个基本号码和1个特别号码组成,投注者根据当期彩票上的投注号码与中奖号码相符的个数多少(顺序不限),确定相应的中奖资格.请计算:如果买一注彩票,能够中奖的概率(可能性)有多大?能够中一等奖的概率有多大?2.两位同学在相同的条件下,都抛掷一枚硬币100次,得到正面向上的频率一定相同吗?继续探究:(1)同一个随机事件在相同条件下在每次试验中发生的概率都一样吗?提示:概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量,是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关;同一个随机事件在相同条件下在每次试验中发生的概率都是一样的.(2)连续掷硬币100次,结果100次全部是正面朝上,出现这样的结果,你会怎么想?原因何在?提示:出现这样的情况,我们可以认为该硬币的质地是不均匀的,如果抛硬币试验中,该硬币是质地均匀的,则出现正面朝上和出现反面朝上的概率是一样的,即出现正面向上与出现反面向上的次数不会相差太大.【概念生成】用频率估计概率大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).核心互动探究探究点一频率与概率的关系及求法【典例1】(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率.(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)【思维导引】(1)分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数,代入公式可得概率;(2)计算没有获得好评的电影部数,代入公式可得概率;(3)根据每部电影获得好评的部数做出合理建议.【解析】(1)由表知,电影公司收集的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000,获得好评的第四类电影部数为200×0.25=50,所以所求概率为=0.025.(2)方法一:记“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件A,由表知,没有获得好评的电影部数为140×(1-0.4)+50×(1-0.2)+300×(1-0.15)+200×(1-0.25)+800×(1-0.2)+510×(1-0.1)=1628,所以P(A)==0.814,即所求概率为0.814.50200016282000方法二:记“随机选取的1部电影获得好评”为事件A,则“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件,由表知,获得好评的电影部数为140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372,所以P(A)==0.186,所以P()=1-P(A)=0.814,即所求概率为0.814.3722000AA(3)由表及已知,第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,符合要求.【类题通法】1.根据频率求随机事件概率的步骤(1)利用频率的计算公式fn(A)=,计算出频率值.(2)根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.2.求频率的稳定值的方法根据频数和重复试验的次数计算频率,可直接观察频率稳定在哪个常数附近,用它来估计概率值,也可在坐标系内描出各点(横坐标为次数,纵坐标为频率),观察频率值在哪个常数附近波动,则这个常数就可作为概率的近似值.Ann【定向训练】为了确定某类种子的发芽率,从一大批种子中抽出若干做发芽试验,其结果如下:种子粒数257013070020003000发芽粒数246011663918062713发芽率(1)求出表中种子发芽的各个频率(发芽率).(2)种子的发芽概率大约为多少?【解析】(1)0.96,0.857,0.892,0.913,0.903,0.904.(2)发芽的概率大约为0.9.【补偿训练】下面是某批乒乓球质量检查结果表:抽取球数5010020050010002000优等品数45921944709541902优等品出现的频率(1)在上表中填上优等品出现的频率.(2)估计该批乒乓球优等品的概率是多少?(3)若抽取乒乓球的数量为1700只,则优等品的数量大约为多少?【解析】(1)如下表所示:抽取球数5010020050010002000优等品数45921944709541902优等品出现的频率0.90.920.970.940.9540.951(2)从表中数据可以看出,这批乒乓球优等品的概率是0.95.(3)由优等品的概率为0.95,则抽取1700只乒乓球时,优等品数量为1700×0.95=1615.探究点二游戏公平性的判断【典例2】某种彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个.有人统计了过去中特等奖的号码,声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多,它是一个幸运号码,人们应该买这一号码;也有人说,若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少,由于每个号码出现的机会相等,应该买这一号码,你认为他们的说法对吗?【思维导引】从游戏规则的公平性来判断两种说法的正误.【解析】标有36个号码的36个球大小、重量是一致的,严格地说,为了保证公平,每次用的36个球,应该只允许用一次,除非能保证用过一次后,球没有磨损、变形.因此,当把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时,不难看出,以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响,上述两种说法都是错的.【类题通法】判断游戏规则公平性的关键及步骤(1)关键:一种游戏对每个人来说是否公平,关键是看在这一游戏规则下,每个人获胜的概率是否相等.(2)步骤:①先借助概率计算公式,计算每个人获胜的概率;②根据计算的结果判断.【定向训练】某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平?为什么?【解题指南】1.列举出所有可能情况.2.考虑如何判断是否公平.【解析】该方案是公平的,理由如下:各种情况如表所示:由表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的有6种,为奇数的也有6种,所以(1)班代表获胜的概率P1=,(2)班代表获胜的概率P2=,即P1=P2,机会是均等的,所以该方案对双方是公平的.61122＝61122＝【补偿训练】有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,然后由甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:A.猜“是奇数”或“是偶数”;B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”;C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.请回答下列问题:(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.【解析】(1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;510810210方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.610410【课堂小结】课堂素养达标1.气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”,对预测的正确理解是()A.本市明天将有90%的地区降雨B.本市明天将有90%的时间降雨C.明天出行不带雨具肯定会淋雨D.明天出行不带雨具可能会淋雨【解析】选D.“本市明天降雨的概率是90%”即为“本市明天降雨的可能性为90%”.2.某班准备到郊外野营,为此向商店订了帐篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则下列说法正确的是()A.一定不会淋雨B.淋雨的可能性为C.淋雨的可能性为D.淋雨的可能性为341214【解析】选D.所有可能的事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种情况,而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨,故淋雨的可能性为.143.下面有三种游戏规则:袋子中分别装有大小相同的球,从袋中取球.游戏1游戏2游戏33个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球取1个球,再取1个球取1个球取1个球,再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的球是黑球→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的球是白球→乙胜取出的两个球不同色→乙胜问其中不公平的游戏是()A.游戏1B.游戏1和游戏3C.游戏2D.游戏3【解析】选D.游戏1中,取2个球的所有可能情况为(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),(黑1,白),(黑2,白),(黑3,白).所以甲胜的可能性为0.5,故游戏是公平的;游戏2中,显然甲胜的可能性为0.5,游戏是公平的;游戏3中,取2个球的所有可能情况为(黑1,黑2),(黑1,白1),(黑2,白1),(黑1,白2),(黑2,白2),(白1,白2).所以甲胜的可能性为,游戏是不公平的.134.对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如下表所示:根据表中所提供的数据,若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品,大约需抽查________件产品.抽查件数50100200300500合格件数4792192285478【解析】由表中数据知:抽查5次,产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956,可见频率在0.95附近摆动,故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品,则≈0.95,所以n≈1000.答案:1000950n