新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件61平面向量的概念

第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念基础预习初探阅读下面的物理现象,思考下面的问题:a.民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班,每次飞行都伴随着民航客机的一次位移.由于飞行的距离和方向各不相同,因此,它们的位移不同.b.汽车向东北方向行驶了60km,行驶速度的大小为120km/h,方向是东北.c.起重机吊装物体时,物体既受到竖直向下的重力作用,同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.1.上述三个实例中涉及哪些物理量?提示:位移、速度、力.2.这些量与我们日常生活中的面积、质量有什么区别?提示:这些量既有大小又有方向,而我们日常生活中的面积、质量只有大小而没有方向.3.对既有大小又有方向的量,如何形象、直观地表示出来?提示:利用有向线段来表示.【概念生成】1.向量的概念和表示方法(1)概念:既有_____,又有_____的量称为向量.(也称为_____)(2)向量的表示:几何表示:用_________来表示向量,有向线段的长度表示向量的_____,箭头所指的方向表示向量的_____,即用有向线段的起点、终点字母表示,如,…字母表示:用小写字母a,b,c,…表示,手写时必须加箭头.大小方向有向线段大小方向矢量ABuur2.向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义:向量的_____叫做向量的长度.(2)向量的长度表示:向量,a的长度分别记作:||,|a|.(3)特殊向量:①________的向量称为零向量,记作__,方向不确定;②________的向量,叫做单位向量.ABuurABuur大小长度为00模等于13.向量间的关系(1)相等向量:大小_____且方向_____的向量,叫做相等的向量,记作:a=b.(2)平行向量:方向___________的非零向量,也叫_________;a平行于b,记作_____;规定零向量与任意向量_____.相等相同相同或相反共线向量a∥b平行核心互动探究探究点一向量的有关概念【典例1】下列说法中正确的是()A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小【思维导引】从向量的基本概念出发思考.【解析】选D.不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确.【类题通法】解决向量有关概念问题的方法(1)熟悉一些常见物理量是否为向量.(2)准确、全面理解向量的有关概念,明确零向量和单位向量,注意相等向量、共线向量、平行向量之间的区别和联系.【定向训练】1.下列说法正确的是()A.平行向量就是向量所在直线平行的向量B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度为0D.共线向量是在一条直线上的向量【解析】选C.平行向量所在直线可以平行也可以重合,故A错;长度相等、方向不同的向量不是相等向量,故B错;共线向量即平行向量,不一定在同一条直线上,故D错.2.下列命题中不正确的命题个数为()①若向量a与b同向,且|a||b|,则ab;②若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;③对于任意|a|=|b|,且a与b的方向相同,则a=b;④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.①不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量不能比较大小,故①不正确.②不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,并不能判断方向.③正确.因为|a|=|b|,且a与b同向.由两向量相等的条件可得a=b.④不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不确定.【补偿训练】下列各组是不是向量,如果是向量,说明这些向量之间有什么关系?①两个三角形的面积S1,S2;②桌面上两个物体各自受到的重力G1,G2;③小船驶向对岸的速度v1与水流速度v2.【解析】①面积只有大小,没有方向,故不是向量;②重力G1,G2既有大小又有方向,故是向量,并且两向量方向相同,所以为共线向量;③速度既有大小,又有方向,故是向量.因为两向量方向既不相同也不相反,故不是共线向量.探究点二向量的表示【典例2】在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:①,使||=4,点A在点O北偏东45°;②,使||=4,点B在点A正东;③,使||=6,点C在点B北偏东30°.【思维导引】画向量,长度与方向缺一不可.OAuuurOAuuur2ABuurABuurBCuurBCuur【解析】①由于点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||=4,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量如图所示.OAuuur2OAuuur②由于点B在点A正东方向处,且||=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量如图所示.③由于点C在点B北偏东30°处,且||=6,依据勾股定理可得:在坐标纸上,点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,于是点C位置可以确定,画出向量如图所示.ABuurABuurBCuur3BCuur【类题通法】用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时,需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模),选择合适的比例关系作出向量.【定向训练】在如图的方格纸中,取每个方格的单位长度为1,画出下列向量.(1)||=3,点A在点O的正西方向;(2)||=3,点B在点O北偏西45°方向;(3)求出||的值.OAuuurOBuur2ABuur【解析】依题意,结合向量的表示可知,(1)(2)的向量如图所示.(3)由图知,△AOB是等腰直角三角形,所以=3.22ABOBOAuuruuruuur＝【补偿训练】一辆汽车从A出发向西行驶了100km到达B点,然后改变方向向西偏北50°行驶了200km到达C点,又改变方向,向东行驶了100km到达D点.(1)作出向量.(2)求汽车从A点到D点的位移大小||.ABBCCDuuruuruuur、、ADuuur【解析】(1)向量如图所示.(2)由题意,易知与方向相反,故与共线.又||=||,所以在四边形ABCD中,AB􀱀CD,所以四边形ABCD为平行四边形,所以||=||=200km.ABBCCDuuruuruuur、、ABuurCDuuurCDuuurABuurABuurCDuuurADuuurBCuur探究点三相等向量与共线向量【典例3】如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且=a,=b,=c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些?(2)与a共线的向量有哪些?(3)请一一列出与a,b,c相等的向量.【思维导引】熟记并区分共线向量及相等向量的概念.OAuuurOBuurOCuuur【解析】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有.(2)与a共线的向量有.(3)与a相等的向量有;与b相等的向量有;与c相等的向量有.ODBCAOFEuuuruuruuuruur，，，EFBCODFECBDOAODAADuuruuruuuruuruuruuuruuuruuuruuur，，，，，，，，EFDOCBuuruuuruur，，DCEOFAuuuruuruur，，FOEDABuuruuruur，，【延伸探究】1.[变设问]本例条件不变,试写出与向量相等的向量.【解析】与向量相等的向量有.2.[变条件,变设问]在本例中,若|a|=1,则正六边形的边长如何?【解析】由正六边形性质知,△FOA为等边三角形,所以边长AF=|a|=1.BCuurODAOFEuuuruuuruur，，BCuur【类题通法】寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.(2)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.【补偿训练】如图,△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形,设△ABC的边长为a,图中列出了长度均为的若干个向量,则(1)与向量相等的向量有________;(2)与向量共线,且模相等的向量有________;(3)与向量共线,且模相等的向量有________.13a3GHuuurGHuuurEAuur【解析】向量相等⇔向量方向相同且模相等.向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合.答案:(1)(2)(3)LBHCuuuruuur， ECLELBGBHCuuuruuruuuruuruuur，，，，EFFBHAHKKBuuruuruuuruuuruuur，，，，【定向训练】如图所示,已知点O为正方形ABCD的对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.(1)与相等的向量有________,与相等的向量有________;(2)与共线的向量有________;(3)与的模相等的向量有________.AOuuurAOuuurAOuuurBOuuur【解析】(1)根据相等向量定义可知.(2)根据共线向量的定义可知,与共线的向量为.(3)易知答案:(1)(2)(3)AOBF,BOAEuuuruuruuuruurAOuuurBFCODEuuruuuruur，，AOCODOBOBFCFAEDE.uuuruuuruuuruuuruuruuruuruur＝＝＝＝＝＝＝BFuurAEuurBFCODEuuruuuruur，，CODOBOBFCFAEDEuuuruuuruuuruuruuruuruur，，，，，，【补偿训练】如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则()A.ADBCB.ACBDC.PEPFD.EPPFuuuruuruuuruuuruuruuruuruur＝＝＝＝【解析】选D.由平面几何知识知,与方向不同,故≠;与方向不同,故≠;与的模相等而方向相反,故≠;与的模相等且方向相同,所以=.ADuuurBCuurADuuurBCuurACuuurBDuuurACuuurBDuuurPEuurPFuurPEuurPFuurEPuurPFuurEPuurPFuur【课堂小结】课堂素养达标1.若a为任一非零向量,b为单位向量,则下列各式:①|a||b|;②a∥b;③|a|0;④|b|=±1;⑤=b.其中正确的是()A.①④⑤B.③C.①②③⑤D.②③⑤【解析】选B.|a|不一定大于1,|b|=1,所以①④不正确;a与b不一定平行,故②不正确.是a方向上的单位向量,不一定等于b,故⑤不正确.aaaa2.如图,在正方形ABCD中,AC与BD交于点O,则图中与相等的向量是()【解析】选D.与方向相同且长度相等,则=.OAuuurA.OCB.ODC.OBD.COuuuruuuruuruuurOAuuurCOuuurOAuuurCOuuur3.在平面上将所有模相等的向量的起点放在同一点,则它们的终点组成________.【解析】在平面上将模相等的向量的起点放在同一点上,则各终点到该点的距离相等,所以各终点应在同一个圆上.答案:一个圆4.飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1400km到达B地,再从B地按南偏东75°的方向飞行1400km到达C地,那么C地在A地什么方向?C地距A地多远?【解析】如图所示,表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移,则||=1400km.表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移,则||=1400km.所以为从A地到C地的位移.ABuurABuurBCuurBCuurACuuur在△ABC中,|AB|=|BC|=1400,且∠ABC=(90°-15