新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件631平面向量基本定理

6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理新课程标准素养风向标1.了解平面向量基本定理及其意义.2.了解向量的夹角及垂直的意义.1.了解基底的含义,理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面内任一向量.(数学抽象)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.(直观想象)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角.(逻辑推理)基础预习初探1.平面向量基本定理(1)在物理学中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力,试想平面内的任意一向量是否可以分解为其他两个向量的和?提示:可以.(2)如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么?提示:不一定,当a与e1共线时可以表示,否则不能表示.(3)如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示?提示:可以,根据是数乘向量和平行四边形法则.2.两向量的夹角观察下面的图形,根据两向量夹角的概念,回答下列问题:(1)已知向量a,b,要作它们的夹角,首先要做什么?提示:首先要把它们的起点平移到同一点上.(2)两向量的夹角与向量的哪个特征有关?提示:只与两向量的方向有关,与它们的长度无关.【概念生成】平面向量基本定理条件e1,e2是同一平面内的两个_____________结论对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2基底_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底不共线的向量不共线思考:(1)0能与另外一个向量a构成基底吗?(2)平面向量的基底是唯一的吗?提示:(1)不能.基向量是不共线的,而0与任意向量是共线的.(2)不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底,基底一旦确定,平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.核心互动探究探究点一对平面向量基本定理的理解【典例1】(1)D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的中点,且=a,=b,给出下列结论:①=-a-b;②=a+b;③=-a+b;④=a.其中正确的结论的序号为________.CABC12ADBECFEF12121212(2)如图,已知在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点,设=a,=b,试用a,b表示.ADABDCEFFC，，【思维导引】用基底表示平面向量,要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.【解析】(1)如图,,①正确;,②正确;,③正确;,④不正确.11ADACCDCB22bba＝＋＋－1BEBCCE2ab＝＋＝＋1111ABACCBCFCAAB2222babbaba＝＋＝－－，＝＋＝＋（－－）＝－11EFCB22a＝＝－答案:①②③(2)因为DC∥AB,AB=2DC,E,F分别是DC,AB的中点,所以.=.11FCADDCAFAB22ab＝＝，＝＝＝11EFEDDAAFDCADAB22＝＋＋＝－－[phone]babba－－＋＝－【类题通法】用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据:①向量加法的三角形法则和平行四边形法则;②向量减法的几何意义;③数乘向量的几何意义.(2)模型:【定向训练】1.在△ABC中,,EF∥BC,EF交AC于F,设=a,=b,则等于()1AEAB5＝ACABBF11A.B.552112C.D.3333abababab－＋－－＋【解析】选A.因为,所以.又因为EF∥BC,所以,所以.1AEAB5＝4BEAB5＝－11BCACAB55＝（－）41BFBEEFABACAB55＝＋＝－＋（－）11ACAB55ab＝－＝－＋2.在△ABO中,,AD与BC相交于M,设,试用a与b表示.11OCOAODOB42＝，＝OAOBab＝，＝OM【解析】如图,A,M,D三点共线⇔;B,M,C三点共线⇔.于是有解得所以.答案:1OMOA1ODOAOB2－＝＋（－）＝＋1OMOB1OCOBOA4－＝＋（－）＝＋1412－＝，－＝，1737＝，＝，13OM77ab＝＋13OM77ab＝＋探究点二平面向量基本定理的应用【典例2】如图所示,在△OAB中,,点M是AB上靠近B的一个三等分点,点N是OA上靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P,求.OAOBab＝，＝OP【思维导引】可利用及两种形式来表示,并都转化为以a,b为基底的表达式.根据任一向量基底表示的唯一性求得s,t,进而得.OPtOM＝OPONNPONsNB＝＋＝＋OPOP【解析】.因为与共线,故可设.又与共线,可设所以解得所以.2OMOAAMOAAB3＝＋＝＋212OAOBOA333ab＝＋（－）＝＋OMOPt2tOPtOM33ab＝＝＋NBNPNPsNBOPONsNB＝，＝＋33OAsOBON1ss44ab＝＋（－）＝（－）＋，9t103s5＝，＝，3t1s432st3（－）＝，＝，33OP105ab＝＋【延伸探究】1.将本例中“M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“M是AB上靠近A的一个三等分点”,“点N是OA上靠近A的一个四等分点”改为“N为OA的中点”,求BP∶PN的值.【解析】,因为O,P,M和B,P,N分别共线,所以存在实数λ,μ使1BNONOB2ab＝－＝－1OMOAAMOAAB3＝＋＝＋＝121OAOBOAOAOB333＋（－）＝＋2133ab＝＋，BPBN＝2OPOM233abab＝－，＝＝＋，所以=,又=b,所以解得所以,即BP∶PN=4∶1.OBOPPBOPBP＝＋＝－2())323ab－＋(＋OB4535＝，＝，203213－＝，＋＝，4BPBN5＝2.将本例中点M,N的位置改为“,N为OA中点”,其他条件不变,试用a,b表示.1OMMB2＝OP【解析】,,因为A,P,M三点共线,所以存在实数λ使得,所以.因为B,P,N三点共线,所以存在实数μ使得,所以.即解得所以.11AMOMOAOBOA33ba＝－＝－＝－11BNONOBOAOB22ab＝－＝－＝－APAM3ba＝＝－OPOAAP13ab＝＋＝（－）＋BPBN2ab＝＝－OPOBBP12ab＝＋＝＋（－）21OP55ab1213－＝，＝－，3545＝，＝，【类题通法】1.任意一向量基底表示的唯一性的理解条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1,e2条件二a=λ1e1+μ1e2且a=λ2e1+μ2e2结论1212＝，＝2.任意一向量基底表示的唯一性的应用平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1,e2的线性组合λ1e1+λ2e2.在具体求λ1,λ2时有两种方法:(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理.(2)利用待定系数法,即利用定理中λ1,λ2的唯一性列方程组求解.【定向训练】在△ABC中,点M,N满足.若,则x=________,y=________.AM2MCBNNC＝，＝MNxAByAC＝＋【解析】由知M为AC上靠近C的三等分点,由,知N为BC的中点,作图如下:则有,所以,又因为,所以.答案:AM2MC＝BNNC＝1ANABAC2＝（＋）1211MNANAMABACACABAC2326＝－＝（＋）－＝－MNxAByAC＝＋11xy26＝，＝－1216－【补偿训练】如图,已知△OCB中,A是CB的中点,D是将分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设.(1)用a和b表示向量.(2)若,求实数λ的值.OBOAOBab＝，＝OCDC，OEOA＝【解析】(1)由题意知,A是BC的中点,且,由平行四边形法则,得,所以.2ODOB3＝OBOC2OA＋＝25OC2OAOB2DCOCOD2233ababbab＝－＝－，＝－＝（－）－＝－(2)由题意知,∥,故设.因为=(2-λ)a-b,.所以(2-λ)a-b=.因为a与b不共线,由平面向量基本定理,得解得故λ=.DCECECxDC＝ECOCOE2aba＝－＝（－）－5DC23ab＝－5x(2)3ab－22x51x3－＝，－＝－，3x54.5＝，＝45【课堂小结】课堂素养达标1.设D为△ABC所在平面内一点,若,则()【解析】选A.因为,所以,所以,所以.BC3CD＝14A.ADABAC3314B.ADABAC3341C.ADABAC3341D.ADABAC33＝－＋＝－＝＋＝－BC3CD＝ACAB3ADAC3AD3AC－＝（－）＝－3AD4ACAB＝－4114ADACABABAC3333＝－＝－＋2.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(2x+y)e1+(3x+2y)e2=0,则x+y=________.【解析】因为e1,e2不共线,所以解得所以x+y=0.答案:0x0y0＝，＝，2xy03x2y0＝，＝，3.已知向量a,b是一个基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为________.【解析】因为a,b是一个基底,所以a与b不共线,因为(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,所以解得所以x-y=3.答案:3x6y3＝，＝，3x4y62x3y3－＝，－＝，4.已知△ABC中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点,若,用a,b表示.ABACab＝，＝ADAEAF，，【解析】2212AFABBFABBC.3333abaab＝＋＝＋＝＋（－）＝＋1ADABBDABBC2＝＋＝＋111222abaab＝＋（－）＝＋；1121AEABBEABBC3333abaab＝＋＝＋＝＋（－）＝＋；