新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件632633平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加减

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示基础预习初探1.平面向量的正交分解及坐标表示(1)在平面中,垂直的两个非零向量a,b能否作为平面内所有向量的一组基底?提示:能,平面内任何两个不共线的向量都可以作为一组基底.(2)在平面内,e1,e2是两个互相垂直的非零向量,这个平面内的任一向量是否都能用这两个向量来表示?表示是否唯一?提示:由平面向量基本定理可知,平面内的任一向量都可以用e1,e2来表示,且表示方法是唯一的.(3)在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任作一向量,根据平面向量基本定理,=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?提示:相同.(4)如果向量也用(x,y)表示,那么这种向量与实数对(x,y)之间是否一一对应?提示:一一对应.OAuuurOAuuurOAuuurOAuuur2.平面向量的坐标运算设i,j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量a+b,a-b如何分别用基底i,j表示?提示:a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1i+y1j)-(x2i+y2j)=(x1-x2)i+(y1-y2)j.3.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量的坐标是什么?一般地,一个任意向量的坐标如何计算?提示:=(x2-x1,y2-y1),任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.ABuurABuur【概念生成】1.平面向量的正交分解及坐标表示(1)正交分解:把一个向量分解为两个_________的向量.(2)向量的坐标表示互相垂直前提基底i,j是分别与x轴、y轴方向相同的两个_____向量条件对于平面内的任一向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=_______结论把有序实数对______叫做向量a的坐标,记作a=______,其中,__叫做a在x轴上的坐标,__叫做a在y轴上的坐标,a=______叫做向量a的坐标表示特例0=______,i=______,j=______单位xi+yj(x,y)(x,y)xy(x,y)(0,0)(1,0)(0,1)2.平面向量的坐标运算设a=(x1,y1),b=(x2,y2),数学公式文字语言表述向量加法a+b=____________两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的___向量减法a-b=____________两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的___(x1+x2,y1+y2)和(x1-x2,y1-y2)差核心互动探究探究点一平面向量的坐标表示【典例1】如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b.四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a,b的坐标;(2)求向量的坐标;(3)求点B的坐标.OAuuurABuurBAuuur【思维导引】(1)(2)向量坐标是终点坐标减去起点坐标,相等的向量坐标相同.(3)求点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的向量的坐标.【解析】(1)作AM⊥x轴于点M,则OM=OA·cos45°=4×,AM=OA·sin45°=4×,所以A(2,2),故a=(2,2).因为∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,所以∠COy=30°.又OC=AB=3,所以C,所以即b=.222222222222333)22(－，333ABOC22uuruuur＝＝(－，)，333)22(－，(2)(3)即点B的坐标为.333BAAB.22uuuruur＝－＝(，－）333333OBOAAB2222)22222222uuruuuruur＝＋＝（，）＋(－，＝(－，＋)，333(2222)22，【类题通法】求点、向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标:可利用已知条件,先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标:首先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.【定向训练】1.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且=(-1,-1),则=______;=______;=________.OAuuurOBuurODuuurOCuuur【解析】如题干图,=-=-(-1,-1)=(1,1),由正方形的对称性可知,B(1,-1),所以=(1,-1),同理=(-1,1).答案:(1,-1)(1,1)(-1,1)OAuuurOCuuurOBuurODuuur2.已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°.(1)求向量的坐标;(2)若B(,-1),求的坐标.【解析】(1)设点A(x,y),则x=4cos60°=2,y=4sin60°=6,即A(2,6),=(2,6).(2)=(2,6)-(,-1)=(,7).OAuuur3OAuuur3BAuuur3333OAuuur3BAuuur333探究点二平面向量的坐标运算【典例2】已知a+b=(1,3),a-b=(5,7),则a=________,b=________.【思维导引】用加减消元法求a,b的坐标.【解析】由a+b=(1,3),a-b=(5,7),所以2a=(1,3)+(5,7)=(6,10),所以a=(3,5),2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4),所以b=(-2,-2).答案:(3,5)(-2,-2)【类题通法】平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.【定向训练】若向量=(2,3),=(4,7),则=()A.(-2,-4)B.(3,4)C.(6,10)D.(-6,-10)【解析】选A.=(2,3)-(4,7)=(-2,-4).BAuuurCAuuurBCuurBCBACAuuruuuruuur＝－【课堂小结】课堂素养达标1.若向量=(2,0),=(1,1),则等于()A.(3,1)B.(4,2)C.(5,3)D.(4,3)【解析】选B.=(3,1),又=(-1,1),则=(1,1),所以=(4,2).ABDCuuruuur＝ADuuurACBCuuuruur＋ACADDCuuuruuuruuur＝＋BDADABuuuruuuruur＝－BCBDDCuuruuuruuur＝＋ACBCuuuruur＋2.已知A(2,-3),=(3,-2),则点B和线段AB的中点M的坐标分别为()A.B(5,-5),M(0,0)B.B(5,-5),MC.B(1,1),M(0,0)D.B(1,1),M【解析】选B.=(2,-3)+(3,-2)=(5,-5),=(2,-3)+(3,-2)=.ABuurOBOAABuuruuuruur＝＋1OMOAAB2uuuruuuruur＝＋7(4)2，－7(4)2，－7(4)2，－123.已知平行四边形OABC,其中O为坐标原点,若A(2,1),B(1,3),则点C的坐标为________.【解析】设C的坐标为(x,y),则由已知得,所以(x,y)=(-1,2).答案:(-1,2)OCABuuuruur＝4.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为________.【解析】=(3,-4),则与同方向的单位向量为=(3,-4)=.答案:ABuurABABuuruurABuurABuur1534()55，－34()55，－