新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件635平面向量数量积的坐标表示

6.3.5平面向量数量积的坐标表示基础预习初探1.平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).据此回答下列问题:(1)若i,j是两个互相垂直且分别与x轴,y轴的正向同向的单位向量,则a,b如何用i,j表示?提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.(2)在问题(1)的基础上,计算a·b,你能得到什么结论?提示:a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2.2.平面向量模的坐标表示(1)若a=(x,y),怎样利用平面向量数量积的坐标表示|a|?提示:由数量积的定义及性质即可.(2)若已知向量a的起点和终点的坐标,则|a|如何表示?提示:可先求出a的坐标然后再求|a|.3.平面向量垂直与夹角余弦值的坐标表示(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a⊥b,则如何寻找x1,y1,x2,y2之间的关系?提示:由a⊥b得a·b=0.从而得到关系.(2)设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,那么cosθ如何用坐标表示?提示:由cosθ=,再将模及数量积分别用坐标表示即可.abab【概念生成】1.平面向量数量积的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)坐标表示:a·b=________.(2)语言表述:两个向量的数量积等于它们___________________.2.平面向量模的坐标表示x1x2+y1y2对应坐标的乘积的和长度公式向量a=(x,y),则|a|=_________或|a|2=_____距离公式P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),则||=_________________22xy＋12PP222121(xx)(yy)＋x2+y23.平面向量垂直与夹角余弦值的坐标表示(1)向量垂直的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔__________=0.(2)两向量夹角的坐标表示设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则cosθ=_________________.121222221122xxyyxyxyx1x2+y1y2探究点一平面向量的数量积的坐标运算【典例1】(1)(2020·西安高一检测)如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,D、E是线段BC上的点,且DE=BC,则的取值范围是()213ADAE8448A.,B.,9333884C.,D.,933核心互动探究(2)已知a与b同向,b=(1,2),a·b=10.①求a的坐标;②若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c.【思维导引】(1)(2)①先由a=λb设a的坐标,再由a·b=10求λ.②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值.【解析】(1)选A.如图所示,以BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,1),B(-1,0),C(1,0),设D(x,0),则E,据此有=(x,-1),则=x2+x+1=,据此可知当x=-时,取得最小值;当x=-1或时,取得最大值,所以的取值范围是2(x,0)3AD2AE(x,1)3－，ADAE23218(x)3913ADAE8 913ADAE43ADAE84,.93(2)①设a=λb=(λ,2λ)(λ0),则有a·b=λ+4λ=10,所以λ=2,所以a=(2,4).②因为b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,所以a(b·c)=0a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).【类题通法】数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.【定向训练】1.设向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量c=(3,2),则向量(a+2b)·c=()A.(-15,12)B.0C.-3D.-11【解析】选C.依题意可知,a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),所以(a+2b)·c(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2=-3.2.已知=(3,-1),n=(2,1)且n·=7,则n·=()A.-2B.2C.-2或2D.0【解析】选B.n·=n·(-)=n·-n·=7-(2,1)·(3,-1)=7-(6-1)=2.ABACBCBCACABACAB3.已知向量a=(,-1)和b=(1,),若a·c=b·c,试求模为的向量c的坐标.【解析】方法一:设c=(x,y),则a·c=(,-1)·(x,y)=x-y,b·c=(1,)·(x,y)=x+y,由a·c=b·c及|c|=,得解得或所以c=33233332223xyx3yxy2＝，＝，31x231y2＝，＝31x231y2＝，＝，31313131()c.2222，或＝（，）方法二:由于a·b=×1+(-1)×=0,且|a|=|b|=2,从而以a,b为邻边的平行四边形是正方形,且由于a·c=b·c,所以c与a,b的夹角相等,从而c与正方形的对角线共线.此外,由于|c|=,即其长度为正方形对角线长度(|b|=2)的一半,故c=(a+b)=或c=-(a+b)=3322212123131(,)223131(,).22【补偿训练】已知点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,求的值.ABBCCAABBCBCCACAAB＋＋【解析】方法一:(定义法)根据题意可得△ABC为直角三角形,且B=,cosA=,cosC=,所以=4×5cos(π-C)+5×3cos(π-A)=-20cosC-15cosA=-20×-15×=-25.23545ABBCBCCACAABBCCACAAB＋＋＝＋4535方法二:(坐标法)如图,建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,0),C(0,4).所以=(-3,0),=(0,4),=(3,-4).所以=-3×0+0×4=0,=0×3+4×(-4)=-16,=3×(-3)+(-4)×0=-9.所以=0-16-9=-25.ABBCCAABBCBCCACAABABBCBCCACAAB＋＋方法三:(转化法)因为||=3,||=4,||=5,所以AB⊥BC,所以=0,所以ABBCACABBC2ABBCBCCACAABCAABBCCAACAC25.＋＋＝（＋）＝＝－＝－探究点二平面向量的模、夹角与垂直问题【典例2】(1)已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是()A.(-2,+∞)B.C.(-∞,-2)D.(-2,2)(2)已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高.求||与点D的坐标.112()?     22（－，），＋AD【思维导引】(1)可利用a,b的夹角为锐角⇔求解.(2)设出点D的坐标,利用与共线,⊥列方程组求解.0，ababBDBCADBC【解析】(1)选B.当a与b共线时,2k-1=0,k=,此时a,b方向相同,夹角为0°,所以要使a与b的夹角为锐角,则有a·b0且a,b不同向.由a·b=2+k0得k-2,且k≠,即实数k的取值范围是(2)设点D的坐标为(x,y),则=(x-2,y+1),=(-6,-3),=(x-3,y-2).因为D在直线BC上,即与共线,所以存在实数λ,使=λ,即(x-3,y-2)=λ(-6,-3),所以1212112().22（－，），＋ADBCBDBDBCBDBCx36y23－＝－，－＝－，所以x-3=2(y-2),即x-2y+1=0.①又因为AD⊥BC,所以=0,即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0,所以-6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0.②由①②可得即D点坐标为(1,1),=(-1,2),所以||=综上,||=,D(1,1).ADBCx1y1＝，＝，ADAD22125（－）＋＝，AD5【延伸探究】1.将本例(1)中的条件“a=(2,1)”改为“a=(-2,1)”“锐角”改为“钝角”,求实数k的取值范围.【解析】当a与b共线时,-2k-1=0,k=-,此时a与b方向相反,夹角为180°,所以要使a与b的夹角为钝角,则有a·b0,且a与b不反向.由a·b=-2+k0得k2.且k≠-,所以k的取值范围是121211(2).22（－，－）－，2.将本例(1)中的条件“锐角”改为“”,求k的值.【解析】即整理得3k2-8k-3=0,解得k=-或3.422kcos451k＋＝＝，＋abab222k251k＋＝，＋13【类题通法】1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤:(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.(2)求模.利用|a|=计算两向量的模.(3)求夹角余弦值.由公式cosθ=求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cosθ求θ的值.2.涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助a⊥b⇔a·b=x1x2+y1y2=0来解决.22xy＋121222221122xxyyxyxy＋＋＋【知识延拓】1.设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,那么cosθ如何用坐标表示?【提示】121222221122xxyycos.xyxy＋＝＝＋＋abab2.已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于?【提示】由已知得a-b=(1-x,4).因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0.因为a=(1,2),所以1-x+8=0,所以x=9.【定向训练】1.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为()A.B.C.D.6432【解析】选B.a·b=3×1+(-1)×(-2)=5,|a|=,|b|=设a与b的夹角为θ,则cosθ=又0≤θ≤π,所以θ=223110＋（－）＝，22125＋（－）＝，52.2105＝＝abab.42.(2020·全国Ⅰ卷)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=________.【解析】由a⊥b可得a·b=0,又因为a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),所以a·b=1·(m+1)+(-1)·(2m-4)=0,即m=5.答案:5【补偿训练】平面直角坐标系xOy中,O是原点.已知点A(16,12),B(-5,15).(1)求(2)求∠OAB.OAAB.，【解析】(1)由=(16,12),=(-5-16,15-12)=(-21,3),得||==20,||=(2)cos∠OAB=其中=-[16×(-21)+12×3]=300,故cos∠OAB=,所以∠OAB=45°.OAABOA221612＋AB22213152.（－）＋＝AOAB.AOABAOABOAAB1612213＝－＝－（，）（－，）3002220152＝探究点三平面向量数量积的综合应用【典例3】如图,在平面四边形ABCD中,=32.(1)若与的夹角为30°,求△ABC的面积S△ABC;(2)若||=4,O为AC的中点,G为△ABC的重心(三条中线的交点),且与互为相反向量,求·的值.BABCBABCACOGODADCD【思维导引】(1)首先利用向量的夹角公式求得||·||的值,然后利用三角形面积公式求解即可.(2)以O为原点建立平面直角坐标系,设D(x,y),然后用x,y表示出从而根据题意求得的值.BABCOGOBBABC，，，，ADCD【解析】(1)因为=32,且与的夹角为30°,所以所以||·||=过A作AE⊥BC于E,所以S△ABC=|AE|