新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件6432正弦定理

第2课时正弦定理基础预习初探1.回顾直角三角形中,边与角的关系:是否为定值并说出理由?提示:如图,直角三角形ABC中,C=90°,c=2R,R为△ABC外接圆的半径,显然有=2R(定值).abcsinAsinBsinC，，abcsinAsinBsinC==2.在锐角或钝角三角形中,边与角的关系:是否为定值并说出理由?提示:如图,设锐角三角形的外接圆的半径为R,直径为CD=2R,连接BD,∠A=∠D,∠CBD=90°,所以=CD=2R,同理=2R,=2R.得=2R(定值),同理,在钝角三角形中,上述等式仍然成立.abcsinAsinBsinC，，aasinAsinDbsinBcsinCabcsinAsinBsinC==【概念生成】1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即===2R.(R为三角形外接圆的半径)2.正弦定理的变形公式由正弦定理,可以得到如下推论(变形公式):(1)边化角公式:a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC.(2)角化边公式:sinA=;sinB=;sinC=.asinAbsinBcsinCa2Rb2Rc2R核心互动探究探究点一利用正弦定理解三角形【典例1】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,a=4,b=4,则B=()A.B=30°或B=150°B.B=150°C.B=30°D.B=60°3(2)已知△ABC中,c=6cm,A=45°,C=30°,解三角形.【思维导引】(1)由正弦定理求得sinB=,根据ab,由三角形中大边对大角可得B60°,即可求得B.(2)由A+B+C=180°求角B,再由正弦定理求边长.12【解析】(1)选C.因为A=60°,a=4,b=4,由正弦定理,得sinB===.因为ab,所以B60°,所以B=30°.故选C.(2)由三角形内角和定理,得B=180°-(A+C)=105°,sin105°=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=.根据正弦定理,得a===6(cm),b===3(+)(cm).312bsinAa4sin6043624abcsinAsinBsinC==csinAsinC6sin45sin302csinBsinC6sin105sin3026【类题通法】利用正弦定理解三角形的注意事项(1)如果已知三角形的两角和一边解三角形,那么通常运用正弦定理计算.(2)注意三角形中大边对大角,大角对大边的关系以及应用.提醒:注意已知三角形两边和一边的对角解三角形,三角形可能有0个解或1个解或2个解.解决此类问题通常运用数形结合法.【定向训练】1.(2020·东莞高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=45°,C=120°,则边c=()A.B.C.2D.236【解析】选D.因为b=2,B=45°,C=120°,所以由正弦定理,可得,所以解得c=.bcsinBsinC2c232262.已知△ABC中,a=2,c=2,A=45°,解三角形.求B,C,b.【解析】因为a=2,c=2,A=45°,所以由正弦定理,得sinC=,又0°C180°,得C=60°或C=120°.当C=60°时,B=75°,sin75°=,b=；当C=120°时,B=15°,sin15°=,b=.2323acsinAsinCcsinA3a2624csinB26sinC624csinB62sinC探究点二利用正弦定理判断三角形的形状【典例2】在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a=2bcosC,则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形【思维导引】利用正弦定理,转化为三角形的内角的三角函数关系判断,也可以用余弦定理的变形公式转化为三边关系判断.【解析】选A.方法一:在△ABC中,a=2bcosC,由正弦定理,得2RsinA=4RsinBcosC,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,得sinBcosC-cosBsinC=0,所以sin(B-C)=0,得B-C=0,B=C,所以b=c,所以△ABC为等腰三角形.方法二:在△ABC中,由余弦定理,得cosC=,所以a=2bcosC=2b·,得a2=a2+b2-c2,所以b=c,所以△ABC为等腰三角形.222abc2ab＋222abc2ab＋【类题通法】判断三角形形状的常用方法及步骤(1)方法:化边为角或化角为边.(2)步骤:第一步,将题目中的条件,利用正弦定理或余弦定理化边为角或化角为边,第二步,根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边的关系,进而确定三角形的形状.【定向训练】若,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.有一内角是30°的直角三角形C.等边三角形D.有一内角是30°的等腰三角形sinAcosBcosCabc【解析】选A.在△ABC中,,则由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可得,即tanB=tanC=1,所以B=C=45°,A=90°,故△ABC为等腰直角三角形.sinAcosBcosCabcsinAcosBcosCsinAsinBsinC探究点三正弦、余弦定理的综合应用【典例3】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A;(2)若+b=2c,求sinC.【思维导引】(1)利用角化边,建立三角形的三边关系,再用余弦定理求cosA,最后求A.(2)利用边化角,转化为三角恒等变换求sinC,也可以先求出C角,再求sinC.2a【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=.因为0°A180°,所以A=60°.(2)方法一:由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得sinA+sin(120°-C)=2sinC,即cosC+sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-.由于0°C120°,所以sin(C+60°)=,故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=.222bca12bc2＝26322122222624方法二:因为a+b=2c,由正弦定理得sinA+sinB=2sinC,又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=,所以×+cosC+sinC=2sinC,整理可得3sinC-=cosC,即3sinC-cosC=2sin=,所以sin=,所以C=或,因为A=且A+Cπ,所以C=,所以sinC=sin=sin=sincos+cossin=.223262432126333(C)66()642251211123512512646432(C)6【类题通法】利用正、余弦定理解决三角形综合问题的常用思想方法(1)正弦定理和余弦定理从不同的方面反映了三角形中的边角关系,揭示了三角形中元素间的内在联系,解题时一定要注意正弦、余弦定理的结合,可相互渗透,相互促进,它们是解决三角形问题的主要依据.(2)解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题,应注意根据具体情况引入未知数,运用方程思想来解决问题.【定向训练】在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.【解题指南】(1)利用余弦定理可求得BC的长.(2)先利用正弦定理求出sinC的值,再利用余弦定理求出cosC的值,最后由二倍角的正弦公式即可求得sin2C的值.【解析】(1)在△ABC中,由余弦定理可知,BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cosA,即BC2=32+22-2×3×2×cos60°,解得BC=.(2)由正弦定理,得,解得sinC=;由余弦定理得,cosC.所以sin2C=2sinCcosC=2×.ABBCsinCsinA727sinCsin60217222222BCACAB73227=2BCAC7273－（）－212743777【补偿训练】若在△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,求BC,AB及B.3【解析】在△ABC中,由A+B+C=180°得B=180°-A-C=60°,在△ABC中,由正弦定理得,故BC=,AB=.BCABACsinAsinCsinB23ACsinA22sinB32623ACsinC3sin75624sinB23322【课堂小结】课堂素养达标1.在△ABC中,a=b,A=120°,则角B的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选A.由正弦定理得,sinB=,因为A=120°,得B=30°.absinAsinB3bbsinB321232.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=c=+且∠A=75°,则b=()A.2B.4+2C.4-2D.【解析】选A.sinA=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+sin45°cos30°=.由a=c=+可知,∠C=75°,所以∠B=30°,sinB=.由正弦定理得b==2.6233622646212asinBsinA3.在△ABC中,a=bsinA,则△ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【解析】选B.在△ABC中,a=bsinA,由正弦定理,得=b=,则sinB=1,即角B为直角,故△ABC是直角三角形.asinAbsinB【补偿训练】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形【解析】选B.由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,故sin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A.因为A∈(0,π),故sinA≠0,所以sinA=1.因为A∈(0,π),故A=,所以△ABC为直角三角形.24.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=,cosB=,b=3,则c=________.【解析】由已知条件可得sinA=,sinB=,而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,根据正弦定理,得c=.答案:355134512135665bcsinBsinC145145