新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件6433余弦定理正弦定理应用举例距离问题

第3课时余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题基础预习初探【概念生成】实际测量问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫_____,在水平线下方的角叫_____(如图(1)).(2)方位角指从正北方向___时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图(2)).仰角俯角顺(3)方向角:相对于某正方向的水平角,如北偏东45°,南偏西30°(或西偏南60°)等.(4)坡角与坡度:坡面与_______所成的二面角叫坡角,坡面的铅直高度与_________之比叫坡度,如图.水平面水平宽度h(tan)l核心互动探究探究点一测量一个可到达点与不可到达的点之间的距离【典例1】如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC=60m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,求A,B两点的距离.【思维导引】在三角形中由正弦定理计算距离.【解析】∠ABC=180°-75°-45°=60°,所以由正弦定理得,所以即A,B两点间的距离为m.ABAC,sinCsinBACsinC60sin45AB206(m).sinBsin60206【类题通法】求距离问题时应注意的两点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.【定向训练】如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为__________km.【解析】在△ACD中,由余弦定理得在△ABC中,由余弦定理得又因为∠B与∠D互补,所以cosB=-cosD,即解得AC=7.答案:72222222DADCAC53AC34ACcosD.2DADC253302222222BABCAC58AC89ACcosB2BABC25880，2234AC89AC,3080探究点二测量都不可到达的两个点之间的距离【典例2】如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()A.30(+1)mB.120(-1)mC.180(-1)mD.240(-1)m3332【解析】选B.方法一:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,由=tan75°=tan(45°+30°)=得到OB=在Rt△AOC中,由得到所以河流的宽度BC等于OC-OB=OAOB31323313，6060(23).23OA3tan30OC360OC60333，60360(23)120(31)m.方法二:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=所以AB=在△ABC中,∠BAC=45°,由正弦定理,得得624，60,624ABBC,sin30sin45ABsin45BC120(31)m.sin30【类题通法】解三角形的注意事项(1)根据三角形已知的边长和角,明确要求的边长或角,灵活运用正弦定理或余弦定理计算.(2)优先运用直角三角形中的边长和角,记住特殊角的三角函数值能计算等.6262sin75sin1544，【定向训练】如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1km试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间的距离相等,然后求B,D的距离.(计算结果用根号表示)【解题指南】先求∠ADC与∠BCD,进而可发现CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA;而要求BD,可利用正弦定理在△ABC中求BA即可.【解析】在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1,又∠BCD=180°-60°-60°=60°,∠ACB=60°,故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA,在△ABC中,即因此,故B,D的距离为km.ABACsinACBsinABC，ACsin60326ABsin1520，326BD.2032620【补偿训练】如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,求A,B两处岛屿间的距离.【解题指南】先在△ACD中求出AD,再在△DCB中求出BD,然后在△ABD中由余弦定理求得AB.【解析】在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,由正弦定理可得:解得在Rt△DCB中,∠BDC=45°,所以BD=CD=40(海里).CDADsinCADsinACD，140CDsinACD2AD202(),sinCAD22海里22在△ABD中,由余弦定理可得:AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB解得AB=(海里).1800320022024022400,2206探究点三有关距离的综合问题【典例3】如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点至少需要多长时间?3203【思维导引】已知速度,要求时间,只要求出路程,即CD的长即可.观察CD所在的三角形,有△ACD和△BCD,确定用△BCD来求CD.【解析】由题意知AB=海里,因为∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°,所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△ADB中,由正弦定理得所以5(33)DBABsinDABsinADB，ABsinDABDBsinADB又因为∠DBC=180°-60°-60°=60°,BC=海里,5(33)sin?45sin1?055(33)sin?45sin45cos60cos45sin6025(33)53(31)2103()2631442海里，203所以在△BCD中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC所以CD=30(海里),所以需要的时间t==1(时),即救援船到达D点至少需要1时.1300120021032039002，3030【类题通法】航行问题的解题技巧(1)在航行等问题中,通常是把方位角(方向角)与几何图形结合起来,求出几何图形的有关角.(2)几何图形的应用是解决实际问题的重要辅助手段,一是从图形的完整性方面画出图形;二是把多边形向解三角形转化.【定向训练】1.若本例条件不变,该救援船应沿东偏北多少度的方向去营救?【解析】由本例解析知在△BCD中,,CD=30,故DB2+CD2=BC2.所以∠CDB=90°,又因为∠CBD=60°.所以∠DCB=30°.过C作AB的平行线CE,即∠BCE=∠CBA=30°,所以∠DCE=60°.故该救援船应沿东偏北60°的方向去营救.DB103BC203，2.本例中若不知救援船的速度,其他条件不变,要求救援船必须在40分钟内到达,则救援船的最小速度为多少?【解析】设救援船的速度为v海里/时,由本例解析求得CD=30海里,由得v≥45.即救援船的最小速度为45海里/时.3040v60【课堂小结】课堂素养达标1.为测一河两岸相对两电线杆A,B间的距离,在距A点12米的C处(AC⊥AB)测得∠ACB=30°,则A,B间的距离应为()A.6米B.4米C.6米D.12米【解析】选B.在△ABC中,A=90°,∠ACB=30°,由tan30°=,得AB=ACtan30°=4(米).333ABAC32.一只船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔64海里的M处,下午2时到达这座灯塔东南方向的N处,则这只船航行的速度(单位:海里/时)()A.326B.86C.323D.83【解析】选B.由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.在△PMN中,由正弦定理得,(海里).又由M到N所用时间为14-10=4(时),所以船的航行速度v=(海里/时).32MN=64=32622863.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处,此时得知,该渔船沿北偏东105°方向,以每小时9海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速21海里,则舰艇到达渔船的最短时间是________.【解析】如图,设经过t小时渔船和舰艇同时到达B处,此即为舰艇到达渔船的最短时间.在△ABC中,∠C=45°+75°=120°,CA=10,CB=9t,AB=21t.由余弦定理,得(21t)2=102+(9t)2-2·10·9t·cos120°,即36t2-9t-10=0,解得(舍).答案:40分钟25t=312或