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第八章立体几何初步8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征基础预习初探1.观察下面的图片,回答有关问题:图片中,(1),(2),(3)代表的物体的形状有何特点?由此你能得出什么结论?提示:这些物体都是由若干个平面多边形围成的,这些物体统称为多面体.2.观察下面的多面体,它们有什么共同特点?提示:它们的共同特点是:(1)上、下两个底面是平行的且全等;(2)侧棱长都相等,侧面是平行四边形.3.观察下面的几何体,它们有什么共同特征?提示:它们的共同特征是:(1)底面是平面多边形.(2)侧面都是三角形且它们有一个公共顶点.4.观察如图所示的几何体,回答有关问题:(1)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面的关系如何?提示:它们是相似的多边形.(2)各棱AA′,BB′,CC′,DD′延长后是否交于一点?提示:交于一点.(3)图中几何体A′B′C′D′ABCD是如何得来的?提示:几何体A′B′C′D′ABCD是由一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥所得到的.【概念生成】1.多面体的有关概念:(1)定义:一般地,由若干个___________围成的几何体叫做多面体.(2)各部分名称:①面:围成多面体的各个多边形;②棱:相邻两个面的_______;③顶点:棱与棱的公共点.平面多边形公共边2.旋转体的有关概念:(1)定义:一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的___________旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.(2)轴:___________.3.棱柱的有关概念(1)定义:一般地,有两个面互相_____,其余各面都是_______,并且相邻两个_______的公共边都互相_____,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.一条定直线这条定直线平行四边形四边形平行(2)有关概念:①底面:_________________且是_____________;②侧面:_________且都是___________;③侧棱:_________________;④顶点:_____________________.两个互相平行的面全等的多边形其余各面平行四边形相邻侧面的公共边侧面与底面的公共顶点4.棱锥的有关概念定义有一个面是_______,其余各面都是_______________的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥图形及有关概念底面:多边形面侧面:有_________的各个三角形面侧棱:相邻_____的公共边顶点:各侧面的_________分类按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥……多边形有一个公共顶点公共顶点侧面公共顶点5.棱台的有关概念定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间那部分多面体图形及有关概念上底面:_____下底面:原棱锥的_____侧面:除上、下底面以外的面侧棱:相邻侧面的_______顶点:侧面与上(下)底面的_________分类由几棱锥截得即为几棱台:如三棱台、四棱台……截面底面公共边公共顶点核心互动探究探究点一空间几何体概念的理解与应用【典例1】(1)下列关于棱锥、棱台的说法,其中不正确的是()A.棱台的侧面一定不会是平行四边形B.棱锥的侧面只能是三角形C.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥(2)由5个面围成的多面体,其中上、下两个面是相似三角形,其余三个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点,则该多面体是()A.三棱柱B.三棱台C.三棱锥D.四棱锥【思维导引】根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征判断.【解析】(1)选D.选项A正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;选项B正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;选项C正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;选项D错误,如图所示,四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.(2)选B.根据棱台的定义可判断该多面体为三棱台.【类题通法】关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法棱锥定底面只有一个面是多边形,此面即为底面看侧棱相交于一点棱台定底面两个互相平行的面,即为底面看侧棱延长后相交于一点【定向训练】1.下列说法正确的是()A.棱柱的底面一定是平行四边形B.棱锥的底面一定是三角形C.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱【解析】选D.棱柱、棱锥的底面可以是任意多边形,所以排除A、B.棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面,例如底面为正六边形的棱柱的相对侧面互相平行,排除C.对于D,只要这个平面与底面平行就能够得到两个棱柱.2.有下列三个说法.①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个【解题指南】棱台的基本特点是上、下底面平行且相似,棱或母线延长后交于一点,这是判断几何体是否为棱台的依据.【解析】选A.关键是把握棱台的特点.①中的平面不一定平行于底面,故①错;②③可举反例去检验,如图,故②③错.探究点二几何体的结构特征【典例2】如图,E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD的中点,沿图中虚线折起来,它能围成怎样的几何体?【思维导引】三棱锥的三条侧棱交于同一点,由于E、F都是边的中点,所以折起后D,C,B会交于同一点.【解析】如图,折起围成一个三棱锥.【类题通法】1.判断一个几何体是否为棱柱的三个关键关键1:有两个面互相平行;关键2:其余各面都是四边形;关键3:每相邻两个四边形的公共边都互相平行.2.判断一个几何体是否为棱锥的三个关键(1)底面是多边形.(2)侧面是三角形.(3)侧面有公共顶点.3.判断一个几何体是否为棱台的三个关键(1)两底面相互平行且相似.(2)各侧棱延长后交于一点.(3)侧面是梯形.【定向训练】1.如图所示,在三棱台A′B′C′-ABC中,截去三棱锥A′-ABC,则剩余部分是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.组合体【解析】选B.余下部分是四棱锥A′-BCC′B′.2.如图,四棱柱ABCDA′B′C′D′,E,F分别为DD′,A′D′的中点,平面B′CEF截四棱柱ABCDA′B′C′D′为两部分,则两部分是怎样的几何体?【解析】多面体AA′FED-B′BC不是简单几何体,几何体B′C′C-FD′E是三棱台,其中△B′C′C和△FD′E是三棱台的底面.探究点三多面体的展开图【典例3】纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,如图1,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到右侧的平面图形,如图2.则标“△”的面的方位是()A.南B.北C.西D.下【思维导引】了解并把握立体图形与平面图形的相互转化,培养空间想象能力.【解析】选B.将所给图形还原为正方体,如图所示,最上面为△,最左面为东,最里面为上,将正方体旋转后让左面向东,让“上”面向上可知“△”的方位为北.【类题通法】立体图形的展开或平面图形的折叠是培养空间想象能力的有效途径,解此类问题可以结合常见几何体的定义与结构特征,进行空间想象,或亲自动手制作平面展开图进行实践.【定向训练】1.下图中不是正方体表面展开图的是()【解析】选C.把题目的表面展开图还原,可知C错.2.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图所示,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.因为∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,所以∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,所以AA1=4.所以△AEF周长的最小值为4.22【补偿训练】一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图,A,B,C是展开图形上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC的大小是________.【解析】把展开图还原为正方体,如图,则△ABC为等边三角形,故∠ABC=60°.答案:60°【课堂小结】课堂素养达标1.如图所示的组合体的结构特征是()A.一个棱柱截去一个棱柱B.一个棱柱截去一个圆柱C.一个棱柱截去一个棱锥D.一个棱柱截去一个棱台【解析】选C.如题图,可看成是四棱柱截去一个角,即截去一个三棱锥后得到的简单组合体,故为一个棱柱截去一个棱锥所得.2.有两个面平行的多面体不可能是()A.棱柱B.棱锥C.棱台D.长方体【解析】选B.棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱锥.3.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图),则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()【解析】选A.两个不能并列相邻,B、D错误;两个不能并列相邻,C错误,故选A.4.四棱柱有________条侧棱,________个顶点.【解析】四棱柱有4条侧棱,8个顶点.答案:48