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第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征新课程标准素养风向标1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征.2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.1.通过大量图片及实物,得出圆柱、圆锥、圆台及球和简单组合体的结构特征.(数学抽象)2.通过了解几何体的结构特征的过程,培养学生的观察、分析、概括问题的能力,培养学生类比的思想方法,养成善于思考的良好习惯.(直观想象)基础预习初探1.观察下面的几何体,回答下列问题(1)它们有什么共同点?提示:它们都可以看成是由一个平面图形旋转而生成的.(2)它们分别由什么样的平面图形旋转而成的?提示:①是由矩形绕其中一边所在直线旋转而成.②是由直角三角形绕其中一直角边所在直线旋转而成.③是由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转而成.④是由半圆绕直径所在直线旋转而成.2.观察下面的几何体,回答有关问题:(1)组合体①、②是由哪些简单几何体组合成的?提示:①是由一个三棱柱挖出一个圆柱组合而成的.②是由一个圆台和两个圆柱组合而成的.(2)通过观察你发现组合体①与组合体②的组合有何不同?提示:组合体①是由简单几何体挖出一个简单几何体组成的.组合体②是由几个简单几何体拼接而成的.【概念生成】1.圆柱的结构特征以_____的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的___;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的_____;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的_____;无论旋转到什么位置,_____于轴的边都叫做圆柱侧面的_____.矩形轴底面侧面平行母线圆柱用它的轴的字母表示,即表示两底面_____的字母表示,上图中的圆柱可记作圆柱_____._____和_____统称为柱体.圆心O′O圆柱棱柱2.圆锥的结构特征以_____三角形的一条_______所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.圆锥用它的轴___表示,底面为____,SA为母线.另外,S叫做圆锥的_____,OA(或OB)叫做底面☉O的_____._____与_____统称为锥体.直角边SO☉O顶点半径棱锥圆锥直角3.圆台的结构特征用平行于_____底面的平面去截圆锥,_____与_____之间的部分叫做圆台.圆锥的底面和截面分别叫做圆台的___底面和___底面.与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、_____、母线,如图所示,轴为_____,AA′为母线.圆台用它的轴的_____表示,如图中的圆台可记作圆台_____._____与_____统称为台体.圆锥底面截面下上侧面OO′字母OO′圆台棱台4.球半圆以它的_____所在直线为旋转轴,旋转_____形成的曲面叫做_____,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球.半圆的_____叫做球的球心;连接_____和球面上任意一点的线段叫做球的半径;连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.球常用表示_____的字母表示,如图中的球记作球__.直径一周球面圆心球心球心O5.简单组合体(1)概念:_____________________________.(2)两种基本形式:一种是由简单几何体_____而成,一种是由简单几何体___________一部分而成.由简单几何体组合而成的几何体拼接截去或挖去核心互动探究探究点一旋转体的结构特征【典例1】下列叙述正确的是________.①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥;③球的半径是球面上任意一点和球心的连线段的长度;④球面上任意三点可能在一条直线上;⑤用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.【思维导引】理解旋转体的定义,利用各旋转体的性质,作出判断.【解析】①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥;②正确;根据球的半径定义可知③正确;球面上任意三点一定不共线,故④错误;用一个平面去截球,一定截得一个圆面,故⑤正确.答案:②③⑤【类题通法】判断旋转体形状的关键(1)判断旋转体类型的关键是轴的确定,看旋转体是由平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转,所得的旋转体一般是不同的.(2)处理旋转体识图问题时,要抓住圆柱和圆锥定义中的关键点:①矩形或直角三角形绕轴旋转形成,其特征是轴所在直线必须与底面垂直;②矩形或直角三角形旋转到任何位置时其形状不能发生变化.【定向训练】1.下列说法中正确的是()A.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线【解析】选C.A错误,只有以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴旋转所得的旋转体才是圆台;B错误,没有说明这两个平行截面与底面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况则是错误的;D错误,通过圆台侧面上一点,只有一条母线.2.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是()A.圆锥B.圆台C.圆柱D.两个圆锥组合体【解析】选D.绕正方形一条对角线所在直线旋转一周形成两个圆锥的组合体.探究点二简单组合体的结构特征【典例2】如图,观察下列几何体,分析它们是由哪些基本几何体组成的,并说出主要结构特点.【思维导引】观察组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些最基本的几何体组成的,必要时可指出棱数、面数和顶点数.【解析】题干图中,如图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体,它有9个面,14个顶点,21条棱,具有四棱柱和三棱柱的结构特征.如图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组成的几何体,有9个面,9个顶点,16条棱,具有四棱柱和四棱锥的结构特征.如图(3)是由一个三棱柱和一个底面与三棱柱的上底面重合的三棱台组成的几何体,有9个顶点,8个面,15条棱,具有三棱柱和三棱台的结构特征.【类题通法】判断组合体构成的方法技巧(1)首先要熟练掌握简单几何体的结构特征;其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体.(2)要仔细观察组合体的构成,结合柱、锥、台、球的结构特征,先分割,后验证.【定向训练】1.已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰,如图.分别以AB,BC,CD,DA为轴旋转,试说明所得几何体的结构特征.【解析】(1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台.如图①所示.(2)以BC边为轴旋转所得的旋转体是一组合体:下部为圆柱,上部为圆锥.如图②所示.(3)以CD边为轴旋转所得的旋转体为一组合体:上部为圆锥,下部为圆台,再挖去一个小圆锥.如图③所示.(4)以AD边为轴旋转所得的组合体:一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图④所示.2.如图,绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的?【解析】如图所示,由一个圆锥O4O5,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的.探究点三旋转体的截面问题【典例3】如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台O′O的母线长.【思维导引】旋转体的轴截面中有母线、底面半径、高等主要元素,因而,在涉及这些元素的计算时,通常利用轴截面求解.在圆台的轴截面中,将等腰梯形的两腰延长,在三角形中可借助相似求解.【解析】设圆台的母线长为lcm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r、4r.过轴SO作截面,如图所示.则△SO′A′∽△SOA,SA′=3cm.所以=.所以==.解得l=9,即圆台的母线长为9cm.SASAOAOA33lr4r14【类题通法】旋转体的轴截面及应用用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形的性质,设相关几何量的方程组求解.【定向训练】1.如图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得,现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是图中的()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(1)(4)D.(1)(5)【解析】选D.组合体的上底面已经挖去,故(2)(3)必错;当截面不过轴时,与圆锥的截线不可能是直线,故(4)错.2.一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长.【解析】如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面,设圆台的高为hcm,截得该圆台的圆锥的母线为xcm,由条件可得圆台上底半径r′=2cm,下底半径r=5cm.(1)由勾股定理得h=(cm).(2)圆锥的母线长为x,由三角形相似得:,解得x=20(cm).2212(52)315x122x5【课堂小结】课堂素养达标1.下列叙述中正确的个数是()①圆柱的母线与高相等;②圆锥的高小于母线;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;④用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.A.0B.1C.2D.3【解析】选C.①②正确;③它们的底面为圆面,不正确;④用平行于圆锥底面的平面截圆锥,可以得到一个圆锥和一个圆台.综上知选C.2.关于圆台的母线,下列描述正确的是()A.都平行B.都相等C.与高相等D.与底面平行【解析】选B.圆台的母线延长线交于一点,则A项不正确;圆台的母线大于高,则C项不正确;圆台的母线与底面相交,则D项不正确;很明显B项正确.3.已知圆锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高h=________.【解析】因为圆锥的底面直径AB=8,所以圆锥的底面半径R=OA=4,又因为SA=5,所以圆锥的高h=SO=.答案:3225434.圆台两底半径分别是2cm和5cm,母线长cm,则它的轴截面的面积为________.【解析】画出轴截面,如图,过点A作AM⊥BC于点M,则BM=5-2=3,,所以S四边形ABCD==63(cm2).答案:63cm231022AMABBM9(410)92