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8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础预习初探1.空间中,没有公共点的两条直线一定平行吗?提示:不一定,在平面内没有公共点的两条直线平行,在空间没有公共点的两条直线可能平行,也可能异面.2.如图长方体,观察图中的直线,你能得出哪些位置关系?提示:①平行关系:图中AD与BC,BC与B1C1等所在直线是平行关系.②相交关系:图中AB与BC,A1B与BC等所在直线是相交关系.③异面关系:图中AA1与BC所在直线,它们既不相交也不平行是异面关系.3.观察如图所示的长方体ABCD-A′B′C′D′,回答下面问题.(1)①直线D′C与平面DCC′D′有多少个公共点?提示:直线D′C与平面DCC′D′有无数个公共点.②直线D′C与平面BCC′B′有多少个公共点?提示:直线D′C与平面BCC′B′有一个公共点.③直线D′C与平面ABB′A′有多少个公共点?提示:直线D′C与平面ABB′A′没有公共点.(2)直线D′C与平面DCC′D′,平面BCC′B′,平面ABB′A′存在怎样的位置关系?提示:直线D′C在平面DCC′D′内,与平面BCC′B′相交,与平面ABB′A′平行.4.观察如图长方体ABCDA′B′C′D′,在长方体的6个面中,两两之间的位置关系有几种?提示:有两种位置关系:平行与相交,如平面AA′B′B∥平面DD′C′C,平面AA′B′B与平面BB′C′C相交于直线BB′.【概念生成】1.点、直线、平面位置关系的符号表示一般用符号“∈”“∩”“⊂”等描述点、直线、平面之间的位置关系.若A是点,l,m是直线,α,β是平面,则有:图形语言文字语言符号语言点A在直线l上____点A在直线l外___点A在平面α内______A∈lA∉lA∈α图形语言文字语言符号语言点A在平面α外_____直线l在平面α内_____直线l在平面α外____直线l,m相交于点A______直线l与平面α相交于点A_______平面α,β相交于直线l________A∉αl⊂αl⊄αl∩m=Al∩α=Aα∩β=l2.异面直线的定义及画法(1)异面直线:不同在_________平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(平面衬托法):如图(1)(2)所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.任何一个3.空间直线的位置关系(1)从是否有公共点的角度来分:(2)从是否共面的角度来分:4.直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点个数_______________符号语言描述___________________无数个1个0个a⊂αa∩α=Aa∥α位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行图形语言描述直线与平面相交或平行的情况统称为_____________.直线在平面外5.平面与平面的位置关系位置关系图形语言描述符号语言描述公共直线两平面平行_______无两平面相交_________________________α∥βα∩β=a有一条公共直线核心互动探究探究点一用图形和符号语言表示点、线、面之间的位置关系【典例1】如图所示,写出图形中的点、直线和平面之间的关系.(1)图(1)可以用几何符号表示为:________;(2)图(2)可以用几何符号表示为:________.【思维导引】解答本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系,最后再用符号语言写出.【解析】(1)图(1)可以用几何符号表示为:α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∥AB,a∥b,即平面α与平面β相交于直线AB,直线a在平面α内,直线b在平面β内,直线a平行于直线AB,直线b平行于直线AB.(2)图(2)可以用几何符号表示为:α∩β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,C∈β,B∉MN,C∉MN.即平面α与平面β相交于直线MN,△ABC的顶点A在直线MN上,点B在α内但不在直线MN上,点C在平面β内但不在直线MN上.答案:(1)α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∥AB,a∥b(2)α∩β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,C∈β,B∉MN,C∉MN【类题通法】1.解答本题的关键是正确理解点、线、面表示的含义,点表示元素,线、面都是点的集合.2.符号语言是数学中常用的一种语言,熟练掌握它与自然语言、图形语言之间的转化,是解决几何问题的基础.【定向训练】用符号语言表示下列语句,并画出图形.(1)三个平面α、β、γ相交于一点P,且平面α与平面β交于PA,平面α与平面γ交于PB,平面β与平面γ交于PC;(2)平面ABD与平面BCD交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.【解析】(1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.图形表示:如图1所示.(2)符号语言表示:平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.图形表示:如图2所示.【补偿训练】1.如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=lB.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄αD.α∥β,l⊂α【解析】选D.由题图可知,α∥β,l⊂α.2.如图根据图形,填入相应的符号:A____平面ABC,A____平面BCD,BD____平面ABC,平面ABC∩平面ACD=____.答案:∈∉⊄AC探究点二空间点、线、面的位置关系【典例2】已知长方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示,AC与BD相交于点M,则下列说法正确的是()①点M在直线AC上,点B在直线A1B1外;②直线AC与A1D1相交;③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行;④直线AC与平面A1B1C1D1异面;⑤直线BC与A1B1异面.A.①③④B.①②⑤C.①③⑤D.②③④⑤【思维导引】根据图形直接作出判断.【解析】选C.①中,点M是直线AC与BD的交点,点M在直线AC上,点B显然在直线A1B1外,正确;②中,直线AC与A1D1异面,错误;③中,两平面没有公共点,互相平行,正确;④中,直线与平面的位置关系中没有“异面”,直线AC与平面A1B1C1D1平行,错误;⑤正确.【类题通法】本题主要考查长方体模型中点、线、面之间的位置关系,做题时,不要主观臆断,要认真观察模型,体会其空间关系.【定向训练】已知正四棱锥P-ABCD如图所示,试判断下列点、线、面之间的位置关系:(1)点P与平面ABCD;(2)直线PC与AB,直线AB与CD;(3)平面PCD与平面PCB,平面PAB与平面PCD.【解析】(1)点P在平面ABCD外.(2)直线PC与AB异面,直线AB与CD平行.(3)平面PCD与平面PCB有公共直线PC,所以两平面相交,平面PAB与平面PCD有公共点P,所以两平面也是相交的.探究点三空间两直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定【典例3】已知a、b、c是空间三条直线,下面给出四个说法:①如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c;②如果a、b是异面直线,b、c是异面直线,那么a、c也是异面直线;③如果a、b是相交直线,b、c是相交直线,那么a、c也是相交直线;④如果a、b共面,b、c共面,那么a、c也共面.在上述说法中,正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3【思维导引】从是否有公共点和是否共面考虑.【解析】选A.①a与c可能相交,也可能异面;②a与c可能相交,也可能平行;③a与c可能异面,可能相交,也可能平行;④a与c可能不在一个平面内.故①②③④均不正确.【类题通法】1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系,特别关注异面直线.(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.2.直线与平面位置关系的判定方法(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据基本事实2知直线在平面内.(2)判断直线与平面相交,根据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点,也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直线与平面平行.3.面面位置关系的两种判定方法(1)定义法:仔细分析题目条件,将自然语言转化为图形语言,通过图形借助定义确定两平面的位置关系.(2)借助几何模型判断:线、面之间的位置关系在长方体(或正方体)中都能体现,所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系.【定向训练】1.下列四个说法:①若a∥b,a∥α,则b∥α;②若a∥α,b⊂α,则a∥b;③若a∥α,则a平行于α内所有的直线;④若a∥α,a∥b,b⊄α,则b∥α.其中正确说法的序号是________.【解析】①b可能在α内;②a与b可能异面或垂直;③a可能与α内的直线异面或垂直.答案:④2.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是__________(将你认为正确的序号都填上).【解析】①错,a与b也可能异面;②错,a与b也可能平行;③对,因为α∥β,所以α与β无公共点,又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点,即a与b平行或异面,即a与b一定不相交;由③知④对;⑤错,直线a可能平行于平面β,如图.答案:③④【课堂小结】课堂素养达标1.若点A在直线b上,b在平面β内,则点A,直线b,平面β之间的关系可以记作()A.A∈b∈βB.A∈b⊂βC.A⊂b⊂βD.A⊂b∈β【解析】选B.点A在直线b上,所以A∈b;直线b在平面β内,所以b⊂β.2.异面直线是()A.空间不相交的两条直线B.分别位于两个平面内的直线C.平面内的一条直线与这个平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线【解析】选D.根据异面直线的概念可知.3.若直线l1与l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交【解析】选D.l至少与l1,l2中的一条相交,否则l∥l1,l∥l2得l1∥l2,与l1,l2异面矛盾.4.空间三条直线互相平行,由每两条平行直线确定一个平面,则可以确定平面的个数为________.【解析】三条直线在同一平面内时确定一个平面,三条直线不在同一个平面内时确定三个平面.答案:1或3