新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件853平面与平面平行

8.5.3平面与平面平行基础预习初探1.三角板的一条边所在直线与平面α平行,这个三角板所在平面与α平行吗?提示:不一定平行.2.三角板的两条边所在直线分别与平面α平行,这个三角板所在平面与α平行吗?提示:平行.3.如图,平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行?这两个平面平行吗?提示:无数条,不平行.4.观察长方体ABCD-A1B1C1D1的两个面:平面ABCD及平面A1B1C1D1.(1)平面A1B1C1D1中的直线与平面ABCD具有怎样的位置关系?提示:由于平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,所以平面A1B1C1D1内的直线都与平面ABCD无公共点,故平面A1B1C1D1中的直线都与平面ABCD平行.(2)若直线m⊂平面ABCD,直线n⊂平面A1B1C1D1,则直线m,n平行吗?提示:直线m,n平行或异面.(3)在问题(2)中的直线m,n在什么条件下才是平行的?提示:当直线m,n共面时,两条直线才平行.【概念生成】1.平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条_____直线与另一个平面_____,那么这两个平面平行图形语言符号语言a⊂β,b⊂β,_______,a∥α,b∥α⇒α∥β作用证明两个平面_____相交平行a∩b=P平行2.平面与平面平行的性质定理文字语言两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线_____图形语言符号语言α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒_____作用证明两条直线_____平行a∥b平行核心互动探究探究点一平面与平面平行的判定定理【典例1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点,求证:(1)E,F,B,D四点共面;(2)平面MAN∥平面EFDB.【思维导引】(1)只需证明BD∥EF,即可证明E,F,B,D共面.(2)要证平面MAN∥平面EFDB,只需证MN∥平面EFDB,AM∥平面EFDB.【证明】(1)连接B1D1.因为E,F分别是B1C1和C1D1的中点,所以EF∥B1D1.而BD∥B1D1,所以BD∥EF.所以E,F,B,D四点共面.(2)由题意知MN∥B1D1,B1D1∥BD,所以MN∥BD.而MN⊄平面EFDB,所以MN∥平面EFDB,连接MF.因为点M,F分别是A1B1与C1D1的中点,所以MF􀱀AD.所以四边形ADFM是平行四边形.所以AM∥DF.因为AM⊄平面EFDB,DF⊂平面EFDB,所以AM∥平面EFDB.又AM∩MN=M,所以平面MAN∥平面EFDB.【类题通法】证明平面与平面平行的思路及步骤(1)证明两个平面平行,可以用定义,也可以用判定定理.但用定义证明时,需说明两个平面没有公共点,这一点也不容易做到(可用反证法).(2)用判定定理证明两个平面平行,其步骤如下:【知识延拓】本例中,设P是棱AA1的中点,其他条件不变,求证:平面PMN∥平面C1BD.【证明】连接AB1.因为P,M分别是AA1,A1B1的中点,所以PM∥AB1.又AB1∥C1D,所以PM∥C1D.又PM⊄平面C1BD,C1D⊂平面C1BD,所以PM∥平面C1BD.同理MN∥平面C1BD.又PM∩MN=M,所以平面PMN∥平面C1BD.【定向训练】1.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.(2)平面EFA1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因为A1G􀱀EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.2.已知正方形ABCD与菱形ABEF所在平面相交,求证:平面BCE∥平面ADF.【证明】因为四边形ABCD是正方形,所以BC∥AD.因为BC⊄平面ADF,AD⊂平面ADF,所以BC∥平面ADF.因为四边形ABEF是菱形,所以BE∥AF.因为BE⊄平面ADF,AF⊂平面ADF,所以BE∥平面ADF.因为BC∥平面ADF,BE∥平面ADF,BC∩BE=B,所以平面BCE∥平面ADF.探究点二平面与平面平行的性质定理【典例2】如图,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.(1)求证:AC∥BD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.【思维导引】(1)由面面平行的性质定理直接推证.(2)先由平行线分线段成比例定理得对应线段成比例,再求值.【解析】(1)因为PB∩PD=P,所以直线PB和PD确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,所以AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD,所以,所以所以CD=,所以PD=PC+CD=PAPCABCD435CD，15427.4【类题通法】证明线线平行的方法①定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.②平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.③线面平行的性质定理:⇒a∥b,应用时题目条件中需有线面平行.④面面平行的性质定理:⇒a∥b,应用时题目条件中需有面面平行或证得两平面平行.【定向训练】1.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能【解析】选D.如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥平面AC,A1D1∥平面AC,有A1B1∩A1D1=A1;又D1C1∥平面AC,有A1B1∥D1C1;取BB1,CC1的中点M,N,则MN∥B1C1,则MN∥平面AC,有A1B1与MN异面.2.平面α∥β∥γ,直线l1与α,β,γ依次交于A,B,C,直线l2与α,β,γ依次交于D,E,F,则的关系是()ABDEBCEF与ABDEABDEABDEA.B.C.D.BCEFBCEFBCEF无法判断【解析】选A.连接AF交β于G,连接AD,GE,BG,CF,因为β∥γ,平面ACF∩平面β=BG,平面ACF∩平面γ=CF,所以BG∥CF,所以同理根据α∥β,可证ABAG,BCGFAGDEABDE,.GFEFBCEF所以3.如图所示,四边形ABCD所在的平面与平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1(即图中的AA1∥BB1∥CC1∥DD1)是一个平行四边形.求证:四边形ABCD是平行四边形.【证明】因为平面ABCD∥平面α,平面ABCD∩平面AA1B1B=AB,平面AA1B1B∩平面α=A1B1,所以AB∥A1B1;同理,C1D1∥CD.由于四边形A1B1C1D1是平行四边形,所以A1B1∥C1D1,从而AB∥CD.同理,BC∥AD,所以四边形ABCD是平行四边形.探究点三平面与平面平行的综合应用【典例3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如图所示.(1)求证:平面AB1D1∥平面C1BD;(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明A1E=EF=FC.【思维导引】证面面平行可用判定定理;在应用线面平行时,常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质.【解析】(1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD􀱀B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD,AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理可证,B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1=B1,AB1⊂平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图所示,连接A1C1,交B1D1于点O1;连接AO1,与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1,所以点E也在平面AB1D1内,所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.连接AC,交BD于O;连接C1O,与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面证明A1E=EF=FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F,在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,所以E是A1F的中点,即A1E=EF;同理可证OF∥AE,所以F是CE的中点,即FC=EF,所以A1E=EF=FC.【类题通法】1.线线、线面、面面平行关系经常交替使用,相互转化,其关系可用下图示意.2.注意两个问题①一条直线平行于一个平面,推不出这条直线与平面内的所有直线平行,但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行.②两个平面平行,其中一个平面内的直线必定平行于另一平面,但这两个平面内的直线不一定相互平行,也有可能异面.【定向训练】1.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1,若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.【解析】当E是AB的中点时,DE∥平面AB1C1.证明如下:取AC中点F,连接EF,DF,DE,因为D是CC1的中点,所以在△ACC1中DF∥AC1,又DF⊄平面AB1C1,AC1⊂平面AB1C1,所以DF∥平面AB1C1,因为E是AB的中点,所以在△ABC中,EF∥BC,又因为BC∥B1C1,所以EF∥B1C1,又因为EF⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1,DF∩EF=F,且DF,EF⊂平面DEF,所以平面DEF∥平面AB1C1,又因为DE⊂平面DEF,所以DE∥平面AB1C1,即当E是AB的中点时,DE∥平面AB1C1.2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,F,G分别为线段BC,PB,AD的中点.(1)求证:EF∥平面PAC;(2)求证:平面PCG∥平面AEF;(3)在线段BD上找一点H,使得FH∥平面PCG,并说明理由.【解析】(1)因为E,F分别是BC,BP的中点,所以EF􀱀PC,因为PC⊂平面PAC,EF⊄平面PAC,所以EF∥平面PAC.(2)因为E,G分别是BC,AD中点,所以AE∥CG,因为AE⊄平面PCG,CG⊂平面PCG,所以AE∥平面PCG,又因为EF∥PC,PC⊂平面PCG,EF⊄平面PCG,所以EF∥平面PCG,AE∩EF=E,AE,EF⊂平面AEF,所以平面AEF∥平面PCG.12(3)设AE与BD交于M点,由(2)知,平面PCG∥平面AEF.因为点F,M在平面AEF上,连接FM,则FM⊂平面AEF,且FM⊄平面PCG.所以FM∥平面PCG,即M点为所找的H点.【课堂小结】课堂素养达标1.平面α∥平面β,直线a∥α,则()A.a∥βB.a在面β上C.a与β相交D.a∥β或a⊂β【解析】选D.如图(1)满足a∥α,α∥β,此时a∥β;如图(2)满足a∥α,α∥β,此时a⊂β.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是()A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正方形【解析】选C.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,知BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.3.已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是()A.l∥β,l⊂α⇒α∥βB.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥βC.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥βD.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β