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8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直基础预习初探1.观察正方体ABCD-A1B1C1D1,棱A1D1所在的直线与棱BB1所在的直线在同一个平面内吗?它们是什么关系?它们是否垂直?提示:不在同一个平面内,它们是异面关系并且垂直.2.如何判断空间两直线垂直?提示:通过平移把异面直线转化为相交直线,若两条相交直线所成的角是90°,则两直线垂直.【概念生成】两异面直线所成的角及空间两条直线垂直定义已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′与b′所成的___叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ,则_____________空间两直线垂直当θ=_____时,a与b互相垂直,记作_____角0°θ≤90°90°a⊥b1.对异面直线所成角的认识:(1)任意性与无关性:在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定异面直线所成的角与a′,b′所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关.(2)转化求角:异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,通过转化为相交直线所成的角,将空间角转化为平面角来计算.2.当两条直线平行时,我们规定它们所成的角为0°.3.求异面直线所成的角时,点O常取在两条异面直线中的一条上.核心互动探究探究点一求异面直线所成的角【典例1】在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成的角.【思维导引】取BD的中点G,连接EG,FG,因为E,F分别为BC,AD的中点,根据三角形中位线定理可得,∠GFE就是EF与AB所成的角,AB与CD所成角为30°,所以∠EGF=30°或150°,利用等腰三角形的性质可得结果.【解析】取BD的中点G,连接EG,FG,因为E,F分别为BC,AD的中点,所以EG∥CD且EG=CD,GF∥AB且GF=AB.所以EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角或它的补角,因为AB=CD,所以△EFG为等腰三角形.又AB与CD所成角为30°,所以∠EGF=30°或150°,因为∠GFE就是EF与AB所成的角,所以EF与AB所成角为75°或15°.1212【类题通法】求两条异面直线所成的角的一般步骤及注意问题(1)一般步骤①构造:根据异面直线的定义,用平移法(常用三角形的中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.②证明:证明作出的角就是要求的角.③计算:求角度,常利用三角形.④结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.(2)注意问题①作异面直线所成的角时,要选择恰当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置上的点,如线段的中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的一个特殊点.②由于异面直线所成角的范围是大于0°且小于等于90°,因此平移所作出的角不一定恰好是所求的角,因此要说明此角是异面直线所成的角或是其补角.【定向训练】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AD,D1D的中点,则异面直线MN与AC所成的角大小为()A.30°B.60°C.75°D.90°【解析】选B.如图,连接AD1,由M,N分别为棱AD,D1D的中点,得MN∥AD1,所以∠D1AC即为异面直线MN与AC所成的角,连接D1C,则△AD1C为等边三角形,可得∠D1AC=60°.所以异面直线MN与AC所成的角大小为60°.2.已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角.【解题指南】根据条件和要求的角,解答本题要作出直线AB和MN所成的角,根据点M,N分别是BC,AD的中点,可考虑利用三角形中位线的性质作辅助线.【解析】如图,取AC的中点P,连接PM,PN,因为点M,N分别是BC,AD的中点,所以PM∥AB,且PM=AB;PN∥CD,且PN=CD,所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角,∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角.因为直线AB与CD成60°角,所以∠MPN=60°或120°.1212探究点二空间两直线垂直【典例2】如图,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且,EF=.求证:AB⊥CD.AEBF1EDFC2＝＝5【思维导引】转化为利用直线垂直判定定理求解.【证明】如图,过E作EO∥AB,交BD于点O,连接OF,所以.又因为,所以,所以OF∥CD,所以∠EOF(或其补角)是AB和CD所成的角.在△EOF中,OE=AB=2,OF=CD=1.又EF=,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.所以AB⊥CD.AEBOEDOD＝AEBFEDFC＝BOBFODFC＝23135【类题通法】求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面,也就是通过平移直线至相交位置求角,它是立体几何问题的一个难点,找异面直线所成的角时可综合运用多种方法,结合各种解法总结起来有如下“口诀”:中点、端点定顶点,平移常用中位线;平行四边形中见,指出成角很关键;求角构造三角形,锐角、钝角要明辨;平行线若在外,补上原体在外边.【定向训练】在三棱锥P-ABC中,PA⊥BC,PC⊥AB,求证:PB⊥AC.【证明】过P作PO⊥平面ABC于O,连接OA,OB,OC.因为PO⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PO⊥BC.又因为PA⊥BC,PA∩PO=P,所以BC⊥平面PAO.又因为OA⊂平面PAO,所以BC⊥OA.同理,可证AB⊥OC.所以O是△ABC的垂心.所以OB⊥AC.又因为PO⊥AC,PO∩OB=O,所以AC⊥平面PBO.又PB⊂平面PBO,所以PB⊥AC.【课堂小结】课堂素养达标1.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于()A.30°B.30°或150°C.150°D.以上结论都不对【解析】选B.∠ABC的两边与∠PQR的两边分别对应平行,但方向不能确定是否相同.所以∠PQR=30°或150°.2.一个正方体的展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中()A.AB∥CDB.AB与CD相交C.AB⊥CDD.AB与CD所成的角为60°【解析】选D.还原成正方体如图,因为AB∥DE,所以∠CDE是AB与CD所成角,因为CD=DE=CE,所以∠CDE=60°,所以在原来的正方体中AB与CD所成的角为60°.3.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是()A.空间四边形B.矩形C.菱形D.正方形【解析】选B.易证四边形EFGH为平行四边形.又因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又FG∥BD,所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.而AC与BD所成的角为90°,所以∠EFG=90°,故四边形EFGH为矩形.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面A1B1C1D1和AA1D1D的中心,则EF和CD所成的角是________.【解析】连接B1D1,AD1,则E为B1D1的中点,F为AD1的中点,连接AB1,则EF∥AB1,又CD∥AB,所以∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角,∠B1AB=45°.答案:45°