新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件862直线与平面垂直二

8.6.2直线与平面垂直(二)基础预习初探如图是马路旁的路灯灯柱,若将灯柱看作一条直线,地面看作平面,请回答下面的问题.1.灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系?提示:灯柱所在直线与地面所在平面垂直.2.灯柱所在的直线间是什么位置关系?提示:灯柱所在的直线都是平行的.【概念生成】1.直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线_____符号语言⇒_____图形语言作用证明两条直线_____平行a∥b平行2.直线到平面的距离,平面到平面的距离一条直线与一个平面平行时,这条直线上_________到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离;如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都_____,我们把它叫做这两个平行平面的距离.任意一点相等核心互动探究探究点一直线与平面垂直的性质的应用【典例1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC,求证:MN∥AD1.【思维导引】两直线垂直于同一平面⇒两直线平行.【证明】因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.【延伸探究】1.本例中条件不变,求证:M是AB的中点.【证明】假设A1D与AD1交于点O,连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC,所以ON􀱀CD􀱀AB,所以ON∥AM.又由例题可知MN∥OA,所以四边形AMNO为平行四边形,所以ON=AM.因为ON=AB,所以AM=AB,所以M是AB的中点.121212122.本例中把条件“MN⊥平面A1DC”改为“M是AB的中点”,求证:MN⊥平面A1DC.【证明】连接A1M,CM,取CD中点P,连接NP,MP,由正方体AC1,M,N为中点,则A1M=CM,所以MN⊥A1C.又P为CD中点,所以PN∥A1D.因为CD⊥A1D,所以CD⊥PN.又MP⊥CD,MP∩PN=P,所以CD⊥平面MPN.因为MN⊂平面MPN,所以MN⊥CD.又A1C∩CD=C,所以MN⊥平面A1DC.【类题通法】1.线面垂直的性质:应用直线与平面垂直的常见性质达到证明线线平行的目的,即线面垂直的性质提供了证明线线平行的依据.2.直线与平面垂直的其他性质:(1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意一条直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面.(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.【定向训练】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1与B1D1的中点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1C1,B1D1的中点,设O是AC,BD的交点,连接EO(图略),则EO⊥平面ABCD,所以EO⊥BD,又CO⊥BD,CO∩EO=O,所以BD⊥平面COE,因为CE⊂平面COE,所以BD⊥CE.探究点二直线与平面垂直的综合运用【典例2】如图,已知矩形ABCD,SA⊥平面AC,AE⊥SB于E,EF⊥SC于F.(1)求证:AF⊥SC;(2)若SD交平面AEF于G,求证:AG⊥SD.【思维导引】(1)证明SC⊥平面AEF,根据直线与平面垂直的性质可得AF⊥SC.(2)证明AG⊥平面SDC.根据SD⊂平面SCD,可得AG⊥SD.【证明】(1)因为SA⊥平面AC,BC⊂平面AC,所以SA⊥BC.因为ABCD是矩形,所以AB⊥BC.又SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE.又SB⊥AE,SB∩BC=B,所以AE⊥平面SBC.因为SC⊂平面SBC,所以AE⊥SC.又EF⊥SC,EF∩AE=E,所以SC⊥平面AEF.所以AF⊥SC.(2)因为SA⊥平面AC,所以SA⊥DC.又AD⊥DC,SA∩AD=A,所以DC⊥平面SAD.因为AG⊂平面SAD,所以DC⊥AG.又由(1)SC⊥平面AEF,AG⊂平面AEF.所以SC⊥AG.又SC∩DC=C,所以AG⊥平面SDC.因为SD⊂平面SCD,所以AG⊥SD.【类题通法】线线、线面垂直问题的解题策略(1)证明线线垂直,一般转化为证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.(2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.【定向训练】(2019·全国卷Ⅰ)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE.(2)求点C到平面C1DE的距离.【解析】(1)连接B1C,ME,C1D.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.由题设知A1B1􀱀DC,可得B1C􀱀A1D,故ME􀱀ND,因此四边形MNDE为平行四边形,MN􀱀ED.又MN⊄平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.1212(2)过C作C1E的垂线,垂足为H.由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,又BC∩C1C=C,所以DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE,故CH的长即为点C到平面C1DE的距离,由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E=,故CH=.所以点C到平面C1DE的距离为.174171741717【课堂小结】课堂素养达标1.直线n⊥平面α,n∥l,直线m⊂α,则l,m的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.垂直【解析】选D.由题意可知l⊥α,所以l⊥m.2.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是()A.EF⊥平面αB.EF⊥平面βC.PQ⊥GED.PQ⊥FH【解析】选B.因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=,若A1C⊥BC1,则BC1=()6A.26B.23C.32D.36【解析】选C.如图,连接AC1,因为AC=AA1,所以直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1为正方形,所以A1C⊥AC1,因为A1C⊥BC1,AC1∩BC1=C1,所以A1C⊥平面ABC1,所以A1C⊥AB,因为AB⊥AA1,A1C∩AA1=A1,所以AB⊥侧面ACC1A1,所以AB⊥AC1,因为AB=AC=AA1=,所以AC1=2,所以BC1=3.6324.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件________时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)【解析】只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.答案:VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)