新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件阶段复习课第八章立体几何初步

阶段复习课第三课立体几何初步网络体系构建【答案速填】①__平行__②_______③__平行__④________⑤__性质__⑥__[0,π]__⑦__判定__(0]2，(0]2，易错案例警示易错一对概念理解不准确致误【案例1】有两个面互相平行,其余各面均为平行四边形的几何体一定是棱柱.这种说法是否正确?如果正确,说明理由;若不正确,举出反例.【解析】如图所示的几何体,它由两个等底的四棱柱组合而成,它有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形,但相邻的两个侧面的公共边并不都平行,因此该几何体不是棱柱.【易错分析】有两个面相互平行,并不能保证所有侧棱都相互平行.【避错警示】对棱柱的判断要从定义出发.易错二因斜二测画法规则应用不当致误【案例2】一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OA′B′C′的面积为,求原梯形的面积.2【解析】如图由斜二测画法原理知,原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高,原梯形的高OC是直观图中OC′长度的2倍,OC′的长度是直观图中梯形的高的倍,由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍,故其面积是梯形OA′B′C′面积的2倍,梯形OA′B′C′的面积为,所以原梯形的面积是4.2222【易错分析】由于直观图中的等腰梯形只知道面积,不知道高和上下底边的长,所以要求原梯形的面积,关键是根据斜二测画法的规则将图形还原,确定原梯形与直观图中的梯形在高和上下底边长两方面的关系.在解答本题过程中易得原直角梯形的高为h的错误,导致该种错误的原因是忽视了在直观图中平行于y轴的线段长是原图中线段长的一半.【避错警示】通过本题所得结论:任何一个平面图形,若原图形的面积为S,其直观图的面积为S′,则S′∶S=∶4.2易错三考虑问题不全面或空间想象力差致误【案例3】长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4m,BC=3m,BB1=5m,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路程.【解析】沿长方体的一条棱剪开,使点A和点C1展在同一个平面上,求线段AC1的长即可,如图所示有三种剪法:(1)如图(1)所示,若沿C1D1剪开,使面ABB1A1与面A1B1C1D1在同一个平面内,可求得AC1=2245380m.＋（＋）＝（）(2)如图(2)所示,沿AD剪开,使面ADCB与面BCC1B1在同一个平面内,可求得AC1=(3)如图(3)所示,沿CC1剪开,使面BCC1B1与面ABB1A1在同一个平面内,可求得AC1=故蚂蚁爬行的最短路线长为m.2235490m.＋（＋）＝（）2254374m.＋（＋）＝（）74【易错分析】错解1:如图(1)所示,若沿C1D1剪开,使面ABB1A1与面A1B1C1D1在同一个平面内,可求得AC1=(m),故蚂蚁爬行的最短路线长为m.2245380＋（＋）＝80错解2:如图(2)所示,沿AD剪开,使面ADCB与面BCC1B1在同一个平面内,可求得AC1=(m).故蚂蚁爬行的最短路线长为m.错解3:如图(3)所示,沿CC1剪开,使面BCC1B1与面ABB1A1在同一个平面内,可求得AC1=(m).故蚂蚁爬行的最短路线长为m.三种解法都只考虑了一种情况而得到结论,思考问题不全面.2235490＋（＋）＝902254374＋（＋）＝74【避错警示】(1)解答多面体表面上两点间的最短线路问题,一般地都是将多面体表面展开,转化为求平面内两点间线段的长.多面体的表面展开图并不只是一种图形,在解答题过程中容易因思考不全面导致错误.(2)求解与侧面积和全面积有关的问题,借助侧面展开图是常用的思路.求几何体表面两点间最短距离,也应借助侧面展开图,将立体几何问题转化为平面几何问题,这时应对多面体展开图的各种情况考虑周全.避免因遗漏某些情况而导致错误.易错四不能正确理解题意致误【案例4】以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些?【解析】假设直角三角形ABC中,∠ACB=90°.以AC边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(1)所示.当以BC边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(2)所示.当以AB边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(3)所示.【易错分析】求解不全面,漏掉以AC与AB所在直线旋转为轴的情况.【避错警示】以平面图形某边所在直线为旋转轴旋转,在要求不明确的情况下,要注意分情况讨论.易错五不能正确地应用基本事实3和推论致误【案例5】已知直线l与三条平行直线a,b,c都相交且l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:四条直线l,a,b,c共面.【证明】方法一:因为a∥b,所以a,b确定一个平面α.因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈α,B∈α,所以AB⊂α.又因为A∈l,B∈l,所以l⊂α.因为a∥c,所以a、c确定一个平面β.因为l∩a=A,l∩c=C,所以A∈β,C∈β,所以AC⊂β.因为A∈l,C∈l,所以l⊂β,所以α∩β=a且α∩β=l,因为过两条相交直线有且只有一个平面,l∩a=A,所以α与β重合,即直线a,b,c,l共面.方法二:因为a∥b,所以a、b确定一个平面α,因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈α,B∈α,所以AB⊂α.因为A∈l,B∈l,所以l⊂α,即a,b,l在同一个平面内,故b在a、l确定的平面内.因为a∥c,所以a、c确定一个平面β.因为l∩a=A,l∩c=C,所以A∈β,C∈β,所以AC⊂β.因为A∈l,C∈l,所以l⊂β,即a,c,l在同一个平面内,故c在a、l确定的平面内.又因为l∩a=A,所以a和l只能确定一个平面,所以a,b,c,l共面.【易错分析】错解:因为l与a相交,所以l与a共面.同理l与b共面,l与c共面,故l与a,b,c共面.本题错误的原因是:若l与a共面于α,l与b共面于β,但α,β却不是同一平面,则推不出l与a,b共面.【避错警示】要正确的应用基本事实3和三个推论证明共面.易错六因直观臆断,推理论证不严密致误【案例6】已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1上的点,且AE=C1F.求证:四边形EBFD1是平行四边形.【证明】如图,在棱BB1上取一点G,使得B1G=C1F=AE,连接A1G,GF,则GF􀱀B1C1􀱀A1D1,所以四边形GFD1A1为平行四边形,所以A1G􀱀D1F.因为A1E=AA1-AE,BG=B1B-B1G,所以A1E􀱀BG,所以四边形EBGA1为平行四边形,所以A1G􀱀EB,所以D1F􀱀EB,所以四边形EBFD1是平行四边形.【易错分析】解答本题时,往往仅凭直观感觉,盲目地认为E,B,F,D1四点共面,同时条件AE=C1F也没有用到,从而导致错误.【避错警示】在证明问题中,结论成立与否要有严格的推理过程,不能凭直观感觉,同时当解决完问题时,发现条件还有没用到的,则需要考虑自己的证明过程是否有误.易错七考虑问题不全面,推理过程不严密致误【案例7】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点.求证:AD⊥平面A1DC1.【证明】因为AA1⊥底面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC,所以AA1⊥平面A1B1C1.所以A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1=90°,所以A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1=A1,所以A1C1⊥平面AA1B1B,AD⊂平面AA1B1B,所以A1C1⊥AD.由已知计算得AD=,A1D=,AA1=2.所以AD2+A1D2=AA12,所以A1D⊥AD.因为A1C1∩A1D=A1,所以AD⊥平面A1DC1.22【易错分析】错解:在三棱柱中,因为AA1⊥平面ABC,∠B1A1C1=90°,所以AD⊥A1C1;又从图可知AD⊥平面BCC1B1,所以AD⊥C1D,所以AD⊥平面A1DC1.前半部分,虽然由罗列条件能够推证出AD⊥A1C1,但推理过程不严密;后半部分AD⊥平面BCC1B1纯属臆想,无任何推理依据.【避错警示】先推证C1A1⊥平面ABB1A1得出AD⊥C1A1;再在矩形ABB1A1中,通过计算证明AD⊥A1D.【案例8】如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:(1)直线EF∥平面PCD.(2)平面BEF⊥平面PAD.【证明】(1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,所以直线EF∥平面PCD.(2)如图,连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.【易错分析】使用线面平行的判定定理时,必须证得三个条件同时具备,才能判定直线与平面平行,不可省略任何一个条件.【避错警示】由面⊥面⇒线⊥面⇒面⊥面,注意转化思想的应用,每步必须满足定理的条件,如若省略条件,将导致证明推理过程不严密而丢分.解题过程要表达准确、格式要符合要求.每步推理要有根有据.计算题要有明确的计算过程,不可跨度太大,以免漏掉得分点.引入数据要明确,要写明已知、设等字样,要养成良好的书写习惯.