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课时素养检测四十古典概型(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列试验是古典概型的为()A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小相等B.同时掷两颗骰子,点数和为6的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率【解析】选ABD.A,B,D是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.C不是古典概型,因为不符合等可能性.2.王先生的微信密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的数字组成的六位数(数字可重复),由于长时间未登录,忘记了密码的最后一个数字,如果王先生登录微信时密码的最后一个数字随意选取,那么恰好能登录的概率是()A.B.C.D.【解析】选D.只考虑最后一位数字即可,从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最后一位数字有10种可能,选对只有一种可能,所以选对的概率是.3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为()A.B.C.D.1【解析】选C.从甲、乙、丙三人中任选两人有:(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=.4.在国庆阅兵中,某兵种A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则B先于A,C通过的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.用(A,B,C)表示A,B,C通过主席台的次序,则样本空间Ω={(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A)},所以n(Ω)=6,其中B先于A,C通过的样本点有:(B,C,A)和(B,A,C),共2个,故所求概率P==.5.一袋中装有大小相同,且编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号之和不小于15的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.用(i,j)表示第一次取得球编号i,第二次取得球编号j的一个样本点(i,j=1,2,3,…8).则所有样本点的总数n=64,其中取得两个球的编号和不小于15的样本点有(7,8),(8,7),(8,8)共3个,故所求的概率P=.6.从1,2,3,4这四个数字中,任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于30的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.从1、2、3、4中任取两个不同数字构成一个两位数的样本空间Ω={(12),(13),(14),(21),(23),(24),(31),(32),(34),(41),(42),(43)},所以n(Ω)=12,其中大于30的为31、32、34、41、42、43共6个,故P==.二、填空题(每小题4分,共8分)7.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为________.【解析】从写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取2张,共有6种方法:12,13,14,23,24,34,其中A表示“取出2张卡片中数字之和为奇数”,有4种:12,14,23,34.故P(A)==.答案:8.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2578),在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是________.【解析】十位是1的“渐升数”有8个,十位是2的“渐升数”有7个,…,十位是8的“渐升数”有1个;所以二位的“渐升数”有8+7+6+5+4+3+2+1=36个,以3为十位比37大的“渐升数”有2个,分别以4、5、6、7、8为十位的“渐升数”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15个,所以比37大的二位的“渐升数”共有2+15=17个,故在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是.答案:三、解答题9.(18分)将一枚骰子先后抛掷两次,则:(1)一共有几个样本点?(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点?【解析】(树状图法):一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示.如图所示:(1)由图知,共36个样本点.(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出).【补偿训练】抛掷两枚骰子求:(1)点数之和是4的倍数的概率.(2)点数之和大于5小于10的概率.【解析】如图样本点与所描点一一对应,共36个.(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A,从图中可以看出,事件A包含的样本点共有9个,即(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6).所以P(A)=.(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B,从图中可以看出,事件B包含的样本点有20个,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3).所以P(B)=.(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.基本事件有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个,甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个,所以甲站在中间的概率P==.2.设a是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数,b是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数,构成一个样本点(a,b).记“这些样本点中,满足logba≥1”为事件E,则E发生的概率是()A.B.C.D.【解析】选B.试验发生包含的事件是分别从两个集合中取1个数字,共有4×3=12种结果,满足条件的事件是满足logba≥1,可以列举出所有的事件,当b=2时,a=2,3,4,当b=3时,a=3,4,共有3+2=5个,所以根据古典概型的概率公式得到概率是.【补偿训练】先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则log(2x)y=1的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.所有样本点的个数为6×6=36.由log(2x)y=1得2x=y,其中x,y∈{1,2,3,4,5,6},所以或或满足log(2x)y=1,故事件“log(2x)y=1”包含3个样本点,所以所求的概率为P==.3.一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球,现有放回地摸球,规定每次只能摸一个球,若第一次摸到的球的编号为x,第二次摸到的球的编号为y,构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.由题意可知样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},所以n(Ω)=16.满足xy=4为事件A,则样本点为(1,4),(2,2),(4,1),所以n(A)=3.故所求事件的概率为.4.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.试验的样本空间Ω={(金,木)、(金,水)、(金,火)、(金,土)、(木,水)、(木,火)、(木,土)、(水,火)、(水,土)、(火,土)},所以n(Ω)=10,两种物质不相克为事件A,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,所以n(A)=5,所以抽取的两种物质不相克的概率为.二、填空题(每小题4分,共16分)5.甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A,B两个不同的岗位,且每个岗位至少1人,则甲、乙两人被分到同一岗位的概率为________.【解析】所有可能的分配方式如表:A甲、乙甲、丙乙、丙甲乙丙B丙乙甲乙、丙甲、丙甲、乙则样本空间共有6个样本点,令事件M为“甲、乙两人被分到同一岗位”,则事件M包含2个样本点,所以P(M)==.答案:6.一次掷两枚骰子,得到的点数为m和n,则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0无实数根的概率是________.【解析】样本点共有36个.因为方程无实根,所以Δ=(m+n)2-160.即m+n4,其中有:(1,1),(1,2),(2,1),共3个样本点.所以所求概率为=.答案:7.有20张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数k,k+1,其中k=0,1,2,…,19.从这20张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标有9,10的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10)不小于14”为A,则P(A)=________.【解析】20张卡片任取一张,有20种取法,即样本点有20个,所以n(Ω)=20,其中两个数的各位数字之和不小于14的有(7,8),(8,9),(16,17),(17,18),(18,19),所以n(A)=5.则P(A)==.答案:8.从集合A={2,3}中随机取一个元素m,从集合B={1,2,3}中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2+y2=9内部的概率为________.【解析】点P(m,n)的所有结果有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种情况,所以n(Ω)=6,每种结果等可能出现,属于古典概型,记“点P在圆x2+y2=9内部”为事件A,即m2+n29,则A包含的样本点有(2,1),(2,2),所以n(A)=2,所以P(A)==.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.为了对某课题进行研究,用分层随机抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).高校相关人数抽取人数A18xB362C54y(1)求x,y;(2)若从高校B,C抽取的人中选2人作专题发言,求这2人都来自高校C的概率.【解析】(1)由题意可得==,所以x=1,y=3.(2)记从高校B抽取的2人为b1,b2,从高校C抽取的3人为c1,c2,c3,则从高校B,C抽取的5人中选2人作专题发言的样本点有:(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共10个.设“选中的2人都来自高校C”的事件为X,则事件X包含的样本点有:(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共3个,因此P(X)=.故选中的2人都来自高校C的概率为.10.从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字,求下列事件的概率:(1)事件A={三个数字中不含1和5};(2)事件B={三个数字中含1或5}.【解析】这个试验的样本空间Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}.所以n(Ω)=10.(1)因为事件A={(2,3,4)},所以n(A)=1.所以P(A)==.(2)因为事件B={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},所以n(B)=9.所以P(B)==.