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课时素养检测四十二事件的相互独立性(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.若A与B是相互独立事件,则下列结论中正确的是()A.A与B是对立事件B.A与B是互斥事件C.与不相互独立D.A与是相互独立事件【解析】选D.相互独立与互斥、对立没有必然联系.2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为()A.1B.0.629C.0D.0.74或0.85【解析】选B.事件“两根保险丝都熔断”即事件“甲保险丝熔断”“乙保险丝熔断”同时发生,依题意得事件“两根保险丝都熔断”的概率为0.85×0.74=0.629.3.甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B()A.相互独立但不互斥B.互斥但不相互独立C.相互独立且互斥D.既不相互独立也不互斥【解析】选A.对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.4.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为()A.0.12B.0.42C.0.46D.0.88【解析】选D.由题意知,甲、乙都不被录取的概率为(1-0.6)×(1-0.7)=0.12,故至少有一人被录取的概率为1-0.12=0.88.5.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为、、.所以所求概率P=××=.【补偿训练】假日期间,甲去黄山的概率是,乙去黄山的概率是,假定两人的行动相互之间没有影响,那么在假日期间甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.设甲、乙去黄山分别为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,所以甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是P=1-P()=1-×=.6.如图所示,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A,则P(A)==,“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B,则P(B)=,事件A,B相互独立,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×=.二、填空题(每小题4分,共8分)7.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________.【解析】加工出来的零件的正品率是××=,因此加工出来的零件的次品率为1-=.答案:8.甲、乙两人投球命中率分别为,,则甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为________.【解析】事件“甲投球一次命中”记为A,“乙投球一次命中”记为B,“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C,则C=A∪B且A与B互斥,P(C)=P(A∪B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×==.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为,乙当选的概率为,丙当选的概率为.(1)求恰有一名同学当选的概率;(2)求至多有两人当选的概率.【解析】设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B,C,则有P(A)=,P(B)=,P(C)=.(1)因为事件A,B,C相互独立,所以恰有一名同学当选的概率为P(A)+P(B)+P(C)=P(A)·P()·P()+P()·P(B)·P()+P()·P()·P(C)=××+××+××=.(2)至多有两人当选的概率为1-P(ABC)=1-P(A)·P(B)·P(C)=1-××=.10.在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功互相独立.(1)求恰有两个项目成功的概率;(2)求至少有一个项目成功的概率.【解析】(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××=,只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××=,只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××=,所以恰有两个项目成功的概率为++=.(2)三个项目全部失败的概率为××=,所以至少有一个项目成功的概率为1-=.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.问题等价为两类:第一类,第一局甲赢,其概率P1=;第二类,需比赛2局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率P2=×=.故甲队获得冠军的概率为P1+P2=.2.抛掷一枚骰子一次,A表示事件“出现偶数点”,B表示事件“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是()A.互斥事件B.相互独立事件C.既互斥又相互独立事件D.既不互斥又不独立事件【解析】选B.A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以P(A)=,P(B)=,P(AB)==×.所以A与B是相互独立事件.3.在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.青蛙跳三次要回到A只有两条途径:第一条:按A→B→C→A,P1=××=.第二条,按A→C→B→A,P2=××=.所以跳三次之后停在A叶上的概率为P=P1+P2=+=.4.有一个电路,如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,若其闭合的概率都是,且每个开关闭合与否是相互独立的,则灯亮的概率是()A.B.C.D.【解析】选B.设事件T为开关A,B中至少有一个不闭合,事件R为开关E,F中至少有一个不闭合,则P(T)=P(R)=1-×=.设事件M,N分别为开关C,D不闭合,则P(M)=P(N)=.所以灯不亮的概率为×××=.所以灯亮的概率为1-=.二、填空题(每小题4分,共16分)5.甲、乙、丙三位射击手命中目标的概率分别为,,,现在三人同时射击,目标被击中的概率等于______.【解析】目标没有被击中的概率就是甲、乙、丙三位射手都没有击中的概率,为=.故目标被击中的概率是1-=.答案:6.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为,,,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为________.【解析】分别记汽车在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,停车一次为事件BC+AC+AB发生,故概率为××+××+××=.答案:7.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________.【解析】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为,,,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,至少两颗预报准确的事件有AB,AC,BC,ABC,这四个事件两两互斥且独立.所以至少两颗预报准确的概率为P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.答案:0.9028.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是,,两人租车时间都不会超过四小时.则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________.【解析】由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为,,设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则P(A)=×+×+×=.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.答案:三、解答题(共38分)9.(12分)有三种产品,合格率分别是0.90,0.95和0.95,从中各抽取一件进行检验,求恰有一件不合格的概率.【解析】设从三种产品各抽取一件,抽到合格产品的事件分别为A,B和C.P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95,则P()=0.10,P()=P()=0.05.因为事件A,B,C相互独立,所以恰有一件不合格的概率为P(AB)+P(AC)+P(BC)=P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)+P()P(B)P(C)=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176.故恰有一件不合格的概率约为0.176.10.(12分)在一个选拔项目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为,,,,且各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.【解析】记事件Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”,由已知得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=.(1)记事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”,则P(B)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()=××=.(2)记事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”,则P(C)=P(∪A1∪A1A2)=P()+P(A1)+P(A1A2)=+×+××=.11.(14分)在女子十米跳台比赛中,已知甲、乙两名选手发挥正常的概率分别为0.9,0.85,求(1)甲、乙两名选手发挥均正常的概率;(2)甲、乙两名选手至多有一名发挥正常的概率;(3)甲、乙两名选手均出现失误的概率.【解析】令事件A,B分别表示甲、乙两名选手发挥正常,由题意可知,事件A,B相互独立,且P(A)=0.9,P(B)=0.85.(1)两名选手发挥均正常的概率P=P(AB)=P(A)P(B)=0.9×0.85=0.765.(2)所求事件的对立事件为“甲、乙两名选手发挥均正常”,故所求事件的概率P=1-P(AB)=1-0.765=0.235.(3)依题意可知,所求事件的概率P=P()=P()P()=(1-P(A))(1-P(B))=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015.