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课时素养检测六平面向量基本定理(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,可以作为平面内所有向量的一个基底的是()A.e1与e1+e2B.e1-2e2与e1+2e2C.e1+e2与e1-e2D.e1+3e2与6e2+2e1【解析】选ABC.选项A中,设e1+e2=λe1,则无解;选项B中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解;选项C中,设e1+e2=λ(e1-e2),则无解;选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.2.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则()A.x=,y=B.x=,y=C.x=,y=D.x=,y=【解析】选A.由题意知=+,又=2,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=.【补偿训练】在平行四边形ABCD中,点E是AD边的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,n∈R),则的值是________.【解析】方法一:根据题意可知△AFE∽△CFB,所以==,故===(-)==-,所以==-2.方法二:如图,=2,=m+n,所以=+=m+(2n+1),因为F,E,B三点共线,所以m+2n+1=1,所以=-2.答案:-23.如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()①a=λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量;②对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个;③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则=;④若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0.A.①②B.②③C.③④D.②【解析】选B.由平面向量基本定理可知,①④是正确的.对于②,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于③,当λ1λ2=0或μ1μ2=0时不一定成立,应为λ1μ2-λ2μ1=0.4.平行四边形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=()A.B.2C.D.【解析】选D.因为=+,=+=+,=-.所以=λ+μ=λ+μ(-),所以解得则λ+μ=.5.设点O为面积为4的△ABC内部一点,且有++2=0,则△AOC的面积为()A.2B.1C.D.【解析】选B.如图,以,为邻边作▱OADB,则=+,结合条件++2=0知,=-2,设OD交AB于M,则=2,所以=-,故O为CM的中点,所以S△AOC=S△CAM=S△ABC=×4=1.6.如图所示,在△ABC中,点M,N分别在AB,AC上,且=2,=,线段CM与BN相交于点P,且=a,=b,则用a和b表示为()A.=a+bB.=a+bC.=a+bD.=a+b【解析】选A.由于=a,=,=b,=b,则=-=b-a,=-=b-a.设=λ=λ,=μ=μ,由-=,得λ-μ=a,得解得因此=+=a+=a+b.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点M,N分别是CD,AB的中点,设=a,=b.若=ma+nb,则=________.【解析】因为=++=-a-b+a=a-b,所以m=,n=-1,所以=-4.答案:-48.在平行四边形ABCD中,点E和F分别是边CD和BC的中点.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.【解析】选择,作为平面向量的一组基底,则=+,=+,=+,又=λ+μ=+,于是得即故λ+μ=.答案:【补偿训练】如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则mn的最大值为______【解析】因为点O是BC的中点,所以=(+).又因为=m,=n,所以=+.又因为M,O,N三点共线,所以+=1,即m+n=2,所以mn≤=1,当且仅当m=n=1时取等号,故mn的最大值为1.答案:1三、解答题(每小题14分,共28分)9.在△OAB的边OA,OB上分别取M,N,使|OM|∶|OA|=1∶3,|ON|∶|OB|=1∶4,设线段AN与BM的交点为P,=a,=b,用a,b表示.【解析】因为A,P,N三点共线,所以=λ+(1-λ)=λa+(1-λ)b.又因为M,P,B三点共线,所以=μ+(1-μ)=μa+(1-μ)b.所以解得所以=a+b.10.已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.(1)求++;(2)若PQ过△ABO的重心G,且=a,=b,=ma,=nb,求证:+=3.【解析】(1)因为+=2,又2=-,所以++=-+=0.(2)因为=(a+b),且G是△ABO的重心,所以==(a+b).由P,G,Q三点共线,得∥,所以有且只有一个实数λ,使=λ,又=-=(a+b)-ma=a+b,=-=nb-(a+b)=-a+b,所以a+b=λ.又a,b不共线,所以消去λ,整理得3mn=m+n,故+=3.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.如图,在正方形ABCD中,E为DC的中点,若=λ+μ,则λ+μ的值为()A.B.-C.1D.-1【解析】选A.由题意得=+=+-=-,所以λ=-,μ=1,所以λ+μ=.2.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()A.0,0B.1,1C.3,0D.3,4【解析】选D.因为向量e1与e2不共线,所以解得3.(多选题)已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,不是该平面内所有向量基底的是()A.,B.,C.,D.,【解析】选ABC.D项由于,不共线,所以是一个基底.4.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=()A.-B.-C.-+D.-+【解析】选C.=+=+=-+=-+=-+++(++)=-+.二、填空题(每小题4分,共16分)5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设=a,=b,则=________,=________,=________(用向量a,b表示).【解析】=++=-b-a+b=b-a,=+=-b+=b-a,=+=-b-=a-b.答案:b-ab-aa-b6.如图,已知△ABC中,D为边BC上靠近B点的三等分点,连接AD,E为线段AD的中点,若=m+n,则m+n=________.【解析】依题意得=+=+=+(-)=+,故=+=+=-+=-,故m+n=-=-.答案:-7.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.【解析】=+=+=+(-)=-+,因为=λ1+λ2,所以λ1=-,λ2=,故λ1+λ2=.答案:8.向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底{e1+e2,e1-e2}下可表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则λ=________,μ=________.【解析】由条件得2e1+3e2=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),所以,解得答案:-三、解答题(共38分)9.(12分)如图所示,平行四边形ABCD中,M为DC的中点,N是BC的中点,设=b,=d,=m,=n.(1)试以b,d为基底表示;(2)试以m,n为基底表示.【解析】(1)=-=(+)-(+)=-=(b-d).(2)m=+=d+,①n=+=+d,所以2n=2+d.②由①②消去d,得=n-m.10.(12分)如图,在△ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点,若=x,=y,试问:+是否为定值?【解析】设=a,=b,则=xa,=yb,==(+)=(a+b),所以=-=(a+b)-xa=a+b,=-=yb-xa=-xa+yb,因为与共线,所以存在实数λ,使=λ,所以a+b=λ(-xa+yb)=-λxa+λyb.因为a与b不共线,所以消去λ,得+=4,所以+为定值.11.(14分)设e1,e2是不共线的向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.【解析】(1)假设a=tb(t∈R),则e1-2e2=t(e1+3e2),由e1,e2不共线,得故t不存在,所以a与b不共线,可以作为一组基底.(2)设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2,即解得所以c=2a+b.(3)由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2,即解得