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课时素养检测十平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为()A.40NB.10NC.20ND.40N【解析】选B.如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.由题意,易知|F|=|F1|,|F|=20N,所以|F1|=|F2|=10N.当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边作平行四边形,此平行四边形为菱形,此时|F合|=|F1|=10N.2.若点O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选B.因为|-|=||=|-|,|+-2|=|+|,所以|-|=|+|,所以四边形ABDC是矩形,且∠BAC=90°.所以△ABC是直角三角形.【补偿训练】若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是()A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形【解析】选C.因为+=0,所以=,四边形ABCD是平行四边形,由(-)·=0,得·=0,所以⊥,即此四边形对角线互相垂直,故为菱形.3.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于()A.30°B.60°C.90°D.120°【解析】选A.由++=0,得=-,两边平方得=+-2·,由于||=||=||,则||2=2||||cos∠BOC,所以cos∠BOC=,则∠BOC=60°,所以∠A=∠BOC=30°.【补偿训练】已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则·的值为()A.-B.C.-D.【解析】选A.因为3+4+5=0,所以3+4=-5,所以9+24·+16=25.因为A,B,C在圆上,所以||=||=||=1.代入原式得·=0,所以·=-(3+4)·(-)=-(3·+4-3-4·)=-.4.点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P0的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为()A.(-2,4)B.(-30,25)C.(10,-5)D.(5,-10)【解析】选C.由题意知,=5v=(20,-15),设点P的坐标为(x,y),则解得点P的坐标为(10,-5).5.在四边形ABCD中,∠B=120°,∠C=150°,且AB=3,BC=1,CD=2,则AD的长所在区间为()A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)【解析】选C.=++,其中与的夹角为60°,与的夹角为30°,与的夹角为90°,则||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=9+1+4+2×3×1×+2×1×2×+0=17+2∈(16,25),所以||∈(4,5).6.(多选题)小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时,设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是()A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变【解析】选AC.设水的阻力为f,绳的拉力为F,F与水平方向的夹角为θ,0θ.则|F|cosθ=|f|,所以|F|=.因为θ增大,cosθ减小,所以|F|增大.因为|F|sinθ增大,且船的重力为|F|sinθ与浮力之和,所以船的浮力减小.二、填空题(每小题4分,共8分)7.如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为________.【解析】设A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧长为2,∠ABP==2.设P(x,y),则x=2-1×cos=2-sin2,y=1+1×sin=1-cos2,所以的坐标为(2-sin2,1-cos2).答案:(2-sin2,1-cos2)8.在倾斜角为37°(sin37°=0.6),高为2m的斜面上,质量为5kg的物体m沿斜面下滑至底部,则斜面对物体m的支持力所做的功为________J,重力所做的功为__J(g=9.8m/s2).【解析】物体m的位移大小为|s|==(m),则支持力对物体m所做的功为W1=F·s=|F||s|·cos90°=0(J);重力对物体m所做的功为W2=G·s=|G||s|cos53°=5×9.8××0.6=98(J).答案:098【补偿训练】已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50N,一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20m.则力F所做的功是________,摩擦力f所做的功是________.(g=10m/s2)【解析】设木块的位移为s,则F·s=|F||s|cos30°=50×20×=500(J).将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin30°=50×=25(N),所以摩擦力f的大小为|f|=|μ(G-F1)|=(80-25)×0.02=1.1(N).因此f·s=|f||s|cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J).即F和f所做的功分别是500J和-22J.答案:500J-22J三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),(1)若∥,求x与y间的关系式;(2)若又有⊥,求x,y的值及四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为=++=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(4+x,y-2),所以=(-4-x,2-y).由∥,得x(2-y)-y(-4-x)=0.整理得2x-xy+4y+xy=0,即x+2y=0.(2)因为=+=(6,1)+(x,y)=(6+x,y+1),=+=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3),由⊥,所以(6+x)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.整理得x2+4x-12+y2-2y-3=0.由(1)可知y=-x,代入上式得x2+4x-12=0.解得x1=-6,x2=2.相应求得y1=3,y2=-1,即或如图,S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=||||+||||=||||,又=(x1-2,y1-3)=(-8,0)或=(x2-2,y2-3)=(0,-4),=(6+x1,y1+1)=(0,4)或=(6+x2,y2+1)=(8,0),所以||=8或4,||=4或8,所以=16.10.某人在一条河中游泳,河水的流速为3km/h,此人在静水中游泳的速度为4km/h.(1)如果他径直游向河对岸,他实际是沿什么方向前进?速度大小为多少?(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?【解析】(1)设水流速度为,此人游泳的速度为,以,为邻边作矩形OACB,则此人实际的速度为=+.由||=3,||=4,及勾股定理,得||=5,且在Rt△OAC中,∠AOC≈53°8′.故此人实际是沿与水流方向的夹角为53°8′的方向前进的,速度大小为5km/h.(2)设水流速度为,实际游泳的速度为,实际前进的速度为,则+=,所以四边形OABC为平行四边形.据题意,⊥,||=3,||=4,则在Rt△AOB中,||==.cos∠BAO=,所以∠BAO≈41°25′.故此人应沿与河岸的夹角为41°25′且逆着水流的方向前进,实际前进的速度大小为km/h.【补偿训练】一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地,然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°,并且A、C两地相距2000km,求飞机从B地到C地的位移.【解析】如图所示,设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意,的方向是北偏西60°,||=1000km;的方向是南偏西60°,||=2000km,所以∠BAC=60°.过点B作东西基线的垂线,交AC于点D,则△ABD为正三角形.所以BD=CD=1000km,∠CBD=∠BCD=∠BDA=30°.所以∠ABC=90°.BC=AC·sin60°=2000×=1000(km),||=1000(km).所以,飞机从B地到C地的位移大小是1000km,方向是南偏西30°.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.在△ABC中,设=a,=b,=c,若a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故△ABC是等边三角形.2.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=()A.2B.4C.5D.10【解析】选D.将△ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示,则====-6=42-6=10.3.点O是△ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点【解析】选D.由·=·,得·-·=0所以·(-)=0,即·=0.所以⊥.同理可证⊥,⊥.所以OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即点O是△ABC的三条高线的交点.4.(多选题)在直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式成立的是()A.||2=·B.||2=·C.||2=·D.||2=【解析】选ABD.·=·(+)=+·==||2,A正确;同理||2=·成立,B正确;又===||2,D正确.二、填空题(每小题4分,共16分)5.以原点和点A(4,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,∠B=90°,则向量的坐标为________.【解析】设=(x,y),则=(x-4,y-2).由已知⇒⇒或故B(1,3)或B(3,-1).所以=(-3,1)或(-1,-3).答案:(-3,1)或(-1,-3)6.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是__________.【解析】因为=-=(3,6)=,所以四边形ABCD为平行四边形.又因为·=(4,-2)·(3,6)=0,所以四边形ABCD为矩形.因为||==2,||==3,所以S=||||=2×3=30.答案:307.已知O为△ABC所在平面内的一点,满足||2+=||2+||2=||2+||2,则O是△ABC的________.【解析】设=a,=b,=c,则=c-b,=a-c,=b-a.由题意可知|a|2+|c-b|2=|b|2+|a-c|2,化简可得c·b=a·c,即(b-a)·c=0,即·=0,故⊥,即OC⊥AB.同理可得OB⊥AC,OA⊥BC,故O是△ABC的垂心.答案:垂心8.如图所示,在△ABC中,D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,G是它的重心,已知D点的坐标是(1,2),E点坐标是(3,5),F点坐标是(2,7),则A点坐标为________,G点坐标为________.【解析】设A(x1,y1),由已知得EF平行且等于AD.所以=.所以(x1-1,y1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2).所以即所以A(0,4).因为AE过点G.设G(x2,y2),由=2得(x2,y2-4)=2(3-x2,5-y2),所以即所以G(2,).答案:(0,4)(2,)三、解答题(共38分)9.(12分)经过△OAB重心G的直线与OA、OB分别交于P、Q两点,若=m,=n,求证:+=3.【证明】如图所示,因为点G是△OAB的重心,所以=(+),所以=-=(+)-m=(-m)+,由于P、G、Q三点共线,则