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课时素养检测十三余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.如图,为了测量隧道口AB的长度,给定下列四组数据,计算时应当用数据()A.α,a,bB.α,β,aC.a,b,γD.α,β,b【解析】选C.由A与B不可到达,故不易测量α,β,所以计算时应当用数据a,b,γ.2.如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离.若测得CA=400m,CB=600m,∠ACB=60°,则AB的长为()A.200mB.200mC.200mD.500m【解析】选C.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,所以AB2=4002+6002-2×400×600cos60°=280000,所以AB=200(m),即A,B两点间的距离为200m.3.海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是()A.10海里B.5海里C.5海里D.5海里【解析】选C.在△ABC中,A=60°,B=75°,∠C=180°-60°-75°=45°,根据正弦定理得,得=,解得BC=5.4.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h,则14时两船之间的距离是()A.50nmileB.70nmileC.90nmileD.110nmile【解析】选B.到14时,轮船A和轮船B分别走了50nmile,30nmile,由余弦定理得两船之间的距离为l==70nmile.5.一船以每小时15km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为()A.60kmB.60kmC.30kmD.30km【解析】选A.画出图形如图所示,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×15=60,∠B=45°,由正弦定理得=,所以BC===60,所以船与灯塔的距离为60km.6.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为()A.akmB.akmC.akmD.2akm【解析】选B.如图,在△ABC中,AC=BC=akm,∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,所以AB===a(km).二、填空题(每小题4分,共8分)7.如图,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为________.【解析】在△ABC中,AB=120m,A=30°,B=75°,则C=180°-A-B=75°,所以AC=AB=120m,则河的宽度为ACsin30°=60m.答案:60m8.江岸边有一炮台高30米,江中有两条船,从炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________米.【解析】如图,过炮台顶部A作水平面的垂线,垂足为B,设A处观测小船C的俯角为45°,设A处观测小船D的俯角为30°,连接BC,BD.在Rt△ABC中,∠ACB=45°,可得BC=AB=30米,Rt△ABD中,∠ADB=30°,可得BD=AB=30米,在△BCD中,BC=30米,BD=30米,∠CBD=30°,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos30°=900,所以CD=30米(负值舍去).答案:30三、解答题(每小题14分,共28分)9.要测量对岸两点A,B之间的距离,选取相距km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A,B之间的距离.【解析】在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,所以AC=CD=(km).在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°.所以BC==(km).△ABC中,由余弦定理,得AB2=()2+-2××cos75°=3+2+-=5,所以AB=(km).所以A,B之间的距离为km.10.甲船自某港出发时,乙船在离港7海里的海上驶向该港,已知两船的航向成120°角,甲、乙两船航速之比为2∶1,求两船间距离最短时,各离该海港多远?【解析】如图所示,甲船由A港沿AE方向行驶,乙船由D处向A港行驶,显然∠EAD=60°.设乙船航行到B处行驶了s海里,此时A船行驶到C处,则AB=7-s,AC=2s,而∠EAD=60°,由余弦定理,得BC2=4s2+(7-s)2-4s(7-s)cos60°=7(s-2)2+21(0≤s7).所以s=2时,BC最小为,此时AB=5,AC=4.即甲船离港4海里,乙船离港5海里.故两船间距离最短时,甲船离港4海里,乙船离港5海里.(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.如图,货轮在海上以36nmile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行.为了确定船位,在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后,货轮到达C点处,观测到灯塔A的方位角为32°.则此时货轮与灯塔之间的距离为()A.7nmileB.8nmileC.9nmileD.10nmile【解析】选C.在△ABC中,∠B=152°-122°=30°,∠C=180°-152°+32°=60°,∠A=180°-30°-60°=90°,BC==18,所以AC=18sin30°=9(nmile).2.已知甲船位于小岛A的南偏西30°的B处,乙船位于小岛A处,AB=20千米,甲船沿的方向以每小时6千米的速度行驶,同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向行驶,当甲、乙两船相距最近时,他们行驶的时间为()A.小时B.小时C.小时D.小时【解析】选C.设当甲、乙两船相距最近时,他们行驶的时间为t小时,此时甲船位于C处,乙船位于D处,则AC=20-6t,AD=8t,由余弦定理可得,CD2=(20-6t)2+(8t)2-2(20-6t)8tcos120°=52t2-80t+400,故当CD取最小值时,t=.3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为()A.nmile/hB.34nmile/hC.nmile/hD.34nmile/h【解析】选A.如图所示,在△PMN中,=,所以MN==34,所以v==nmile/h.4.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=5m,起吊的货物与岸的距离AD为()A.30mB.mC.15mD.45m【解析】选B.在△ABC中,AC=15m,AB=5m,BC=10m,由余弦定理得cos∠ACB===-,所以sin∠ACB=.又∠ACB+∠ACD=180°,所以sin∠ACD=sin∠ACB=.在Rt△ACD中,AD=ACsin∠ACD=15×=(m).二、填空题(每小题4分,共8分)5.某人先向正东方向走了xkm,然后他向右转150°,向新的方向走了3km,结果他离出发点恰好为km,那么x的值为________.【解析】根据余弦定理可得,()2=x2+32-2×3xcos(180°-150°),即x2-3x+6=0,解得x=2或.答案:2或6.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图中海洋蓝洞的口径为________.【解析】由已知得,在△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°,由正弦定理得AC===40(+).在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,所以∠DBC=30°,由正弦定理=,得BC===160sin15°=40(-).在△ABC中,由余弦定理,得AB2=1600×(8+4)+1600×(8-4)+2×1600×(+)×(-)×=1600×16+1600×4=1600×20=32000,解得AB=80.故图中海洋蓝洞的口径为80.答案:80三、解答题(共26分)7.(12分)在南海伏季渔期中,我渔政船在A处观测到一外国偷渔船在我船北偏东60°的方向,相距a海里,偷渔船正在向北行驶,若我船速度是渔船速度的倍,问我船应沿什么方向前进才能追上渔船?此时渔船已行驶多少海里?【解析】设渔船沿B点向北行驶的速度大小为v,则我船行驶的速度大小为v,两船相遇的时间为t,则BC=vt,AC=vt,在△ABC中,∠ABC=120°,AB=a,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°,即3v2t2=a2+v2t2+vat,所以2v2t2-vat-a2=0.解得t1=,t2=-(舍去),所以BC=a,所以∠CAB=30°.即我船应沿北偏东30°的方向去追赶渔船,在渔船行驶a海里处相遇.8.(14分)如图,某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向北偏东角方向的OB.位于该市的某医院M与市中心O的距离OM=3km,且∠AOM=β.新冠肺炎疫情期间,为了更快地将患者送到医院救治,要修筑一条公路L,在OA上设一中转站A,在OB上设一中转站B,公路在AB部分为直线段,且经过医院M.其中tanα=2,cosβ=,AO=15km.(1)求医院M与中转站A的距离AM;(2)求公路AB段的长度.【解析】(1)在△AOM中,AO=15,∠AOM=β且cosβ=,OM=3,由余弦定理得,AM2=OA2+OM2-2OA·OM·cos∠AOM=152+(3)2-2×15×3×=15×15+13×9-2×3×15×3=72.所以AM=6,即医院M与中转站A的距离AM为6km.(2)因为cosβ=,且β为锐角,所以sinβ=,在△AOM中,由正弦定理得,=,即=,所以sin∠MAO=,由题意知∠AOB,所以∠MAO=,所以∠ABO=α-,因为tanα=2,所以sinα=,cosα=,所以sin∠ABO=sin=,在△AOB中,AO=15,由正弦定理得,=,即=,所以AB=30,即公路AB段的长为30km.