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课时素养检测十五数系的扩充和复数的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.如果全集U是复数集C,那么()A.UQ={无理数}B.R∩(UR)={0}C.UZ={分数}D.UR={虚数}【解析】选D.实数集与虚数集的并集等于全集U=C,且实数集与虚数集的交集等于空集.2.已知复数a2-4+(a+2)i为纯虚数,则实数a=()A.-2B.2C.±2D.4【解析】选B.由纯虚数的定义可知,解得a=2.【补偿训练】复数z=(m2+m)+mi(m∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为()A.0或-1B.0C.1D.-1【解析】选D.因为z为纯虚数,所以所以m=-1.3.已知x-2i=3+2yi(x,y∈R),则x+y=()A.4B.2C.3D.1【解析】选B.由复数相等的充要条件可知,x=3,y=-1,所以x+y=3-1=2.4.(2020·石嘴山高一检测)已知a为实数,若复数z=(a2-9)+(a+3)i为纯虚数,则复数z的虚部为()A.3B.6iC.±3D.6【解析】选D.因为z=(a2-9)+(a+3)i为纯虚数,所以解得a=3.所以z=6i,则复数z的虚部为6.5.以复数z=3-4i的实部为虚部,虚部为实部的复数为()A.3-4iB.-3+4iC.-4+3iD.4-3i【解析】选C.由于复数z=3-4i=3+(-4)i的实部为3,虚部为-4,所求复数为-4+3i.6.(多选题)若i是虚数单位,则下列结论正确的是()A.是分数B.i是无理数C.-i2不是虚数D.若a∈R,则(a2+1)i是虚数【解析】选CD.由于i是虚数单位,则,i都是虚数,A,B都不正确;-i2=1是实数,不是虚数,C正确;若a∈R,则a2+1≥1,所以(a2+1)i是虚数,D正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若z0,则k的值为________.【解析】因为复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若z0,则k2-5k+6=0,k2-3k0,解得k1=2,k2=3(舍去).答案:28.已知复数z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π],若z为纯虚数,则θ=________.【解析】由复数z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π]为纯虚数,得cosθ=0,sinθ≠0,θ∈[0,2π],所以θ=或.答案:或三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知复数z=+i,(m∈R)是虚数,求实数m的取值范围.【解析】因为复数z=+i,(m∈R)是虚数,所以,解得m0或m1且m≠-2.所以实数m的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,0)∪(1,+∞).10.当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i分别为:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?【解析】(1)当即m=2时,复数z为实数.(2)当即m≠0且m≠2时,复数z为虚数.(3)当即m=-3时,复数z为纯虚数.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共20分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.复数z=2-i的实部与虚部的差为()A.-1B.1C.2D.3【解析】选D.复数z=2-i=2+(-1)i的实部为2,虚部为-1,所以复数的实部与虚部的差为3.2.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C为全集,则()A.C=R∪IB.R∪I={0}C.R=C∩ID.R∩I=∅【解析】选D.复数包括实数和虚数,所以实数集与纯虚数集无交集.所以R∩I=∅.故选D.3.(多选题)下列命题中为真命题的是()A.复数一定是虚数B.实数一定是复数C.复数的平方数一定是非负实数D.实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0【解析】选BD.因为实数和虚数统称为复数,所以复数不一定是虚数,A是假命题;实数一定是复数,B是真命题;由于i2=-1,复数的平方数可以是负实数,C是假命题;实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0,D是真命题.4.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=()A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i【解析】选B.因为i2=-1得xi-i2=1+xi.由题意得1+xi=y+2i,所以x=2,y=1.故x+yi=2+i.5.下列命题中:①两个复数不能比较大小;②若z=a+bi(a,b∈R),则当且仅当a=0且b≠0时,z为纯虚数;③(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;④x+yi=1+i(x,y∈R)⇔x=y=1;⑤若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.若两个复数都为实数,则可比较大小①错误;由纯虚数概念知②正确;若z1=i,z2=0,z3=1,则(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,③错误;由复数相等知④正确;若a=0时,ai不是纯虚数,故⑤错误.二、填空题(每小题4分,共12分)6.复数2i,3-i,3-i2,i-1中,不同于另外三个的一个复数是______.【解析】复数2i,3-i,3-i2,i-1中,3-i2=4是实数,不同于其他三个虚数.答案:3-i27.若a-2i=bi+1(a,b∈R),则b+ai=________.【解析】根据复数相等的充要条件,得所以b+ai=-2+i.答案:-2+i8.若复数z=(a+1)+(1-a)i(a∈R)的实部与虚部都大于0,则实数a的取值范围是________.【解析】由a+10,1-a0,解得-1a1.答案:(-1,1)三、解答题(共38分)9.(12分)已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.【解析】因为M∪P=P,所以MÜP,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.综上可知m=1或m=2.10.(12分)设复数z=(m2+2m-3)+(m-1)i,试求实数m取何值时,满足(1)z是实数;(2)z是纯虚数.【解题指南】(1)复数为实数需满足虚部为零.(2)纯虚数需满足实部为零且虚部不为零.【解析】(1)由m-1=0得m=1,即m=1时z是实数.(2)由解得m=-3,即m=-3时z是纯虚数.11.(14分)定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.【解析】由定义运算=ad-bc,得=3x+2y+yi,故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为x,y为实数,所以有得得x=-1,y=2.