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课时素养检测十六复数的几何意义(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.在复平面内,复数z=2i-i2对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.复数z=2i-i2=1+2i对应的点(1,2),在第一象限.2.设z=a+bi,a,b∈R对应的点在虚轴右侧,则()A.a0,b0B.a0,b0C.b0,a∈RD.a0,b∈R【解析】选D.复数对应的点在虚轴右侧,则该复数的实部大于零,虚部可为任意实数.3.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项中正确的是()A.z1z2B.z1z2C.|z1||z2|D.|z1||z2|【解析】选D.因为复数不能比较大小,所以A,B不正确,又|z1|==,|z2|==,所以|z1||z2|,故C不正确,D正确.4.向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数为z2=1-i,则|+|为()A.B.C.2D.【解析】选A.因为z1=-3+2i,z2=1-i,所以=(-3,2),=(1,-1),则+=(-2,1),所以|+|==.5.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则等于()A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i【解析】选B.点Z(2,1)对应复数z=2+i,与z互为共轭复数,对应的两点关于实轴对称,所以=2-i.【补偿训练】在复平面内,对应的复数是2+i,对应的复数是-1-3i,则对应的复数为()A.1-2iB.-1+2iC.3+4iD.-3-4i【解析】选D.由题意知=(2,1),=(-1,-3).=+=(-1,-3)+(-2,-1)=(-3,-4),所以对应的复数为-3-4i.6.(多选题)下列关于复数z=a+bi,a,b∈R的说法正确的是()A.=a-biB.若=z,则b=0C.若|z|=0,则z=0D.若|z|≠0,则ab≠0【解析】选ABC.由复数z=a+bi,a,b∈R,得=a-bi,选项A正确;若=z,则a+bi=a-bi,b=-b,所以b=0,选项B正确;若|z|=0,则a2+b2=0,所以a=b=0,z=0,选项C正确;若|z|≠0,则a2+b2≠0,所以a,b至少有一个不为0,选项D不正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.已知复平面内,点(2cos300°,2sin300°)对应的复数为z,则z=________,|z|=________.【解析】由点的坐标(2cos300°,2sin300°),得(1,-),对应的复数为z=1-i,|z|=2.答案:1-i28.复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则向量对应的复数的实部为________,虚部为________.【解析】复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则=(-3,-4),对应的复数z=-3-4i的实部为-3,虚部为-4.答案:-3-4三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知z=x+yi,x,y∈R,若2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.(1)求实数x,y的值;(2)求.【解析】(1)因为x,y为实数,所以2x-1,y+1,x-y,-x-y都为实数,由复数相等的充要条件得解得(2)=x-yi=3+2i.10.已知复数z满足|z+1-i|=1,求|z|的最大值和最小值.【解析】设复数z对应向量,复数z1=-1+i对应向量,由|z+1-i|=|z-(-1+i)|=1,得|-|=||=1,所以动点Z的轨迹是以C(-1,1)为圆心,半径为1的圆,所以复数z对应的点的轨迹是以-1+i对应的点C为圆心,以1为半径的圆,画出方程|z+1-i|=1表示的轨迹,如图,而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离,由平面几何知识可知,使圆上的点到原点距离取最大(最小)值的点在直线OC与圆的交点处.所以|z|最大值为|OC|+r=+1,最小值为|OC|-r=-1.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.过原点和-i对应的点的直线的倾斜角是()A.B.-C.D.【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),所以tanα==-(0≤απ),所以α=π.2.欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e-2i表示的复数在复平面中位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.e-2i=cos(-2)+isin(-2),对应点为(cos(-2),sin(-2)),由于-π-2-,因此cos(-2)0,sin(-2)0,所以点(cos(-2),sin(-2))在第三象限.【补偿训练】已知复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,且z≠0,则()A.a≠2或a≠1B.a≠2且a≠1C.a=0D.a=2或a=0【解析】选C.由题意,得a2-2a=0,得a=0或a=2.当a=2时z=0,与题意不符,故选C.3.(多选题)复平面内,下列关于复数的叙述正确的是()A.原点对应的复数是0B.纯虚数对应的点在虚轴上C.实轴上的点对应的复数是实数D.虚轴上的点对应的复数是虚数【解析】选ABC.复平面内,原点对应的复数是0,选项A正确.纯虚数对应的点在虚轴上,选项B正确.实轴上的点对应的复数是实数,选项C正确.虚轴上除原点以外的点对应的复数是虚数,选项D错误.4.(2020·汕尾高一检测)若在复平面内,复数z=2+mi(m∈R)对应的点位于第四象限,且|z|=4,则m=()A.-2B.4C.2D.2【解析】选A.依题意,=4,解得m=±2,而在复平面内,z所对应的点位于第四象限,故m0,所以m=-2.【补偿训练】设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cosB-tanA)+itanB对应的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B,即A-B,sinAcosB.cosB-tanA=cosB-cosB-sinA0,又tanB0,所以点(cosB-tanA,tanB)在第二象限.二、填空题(每小题4分,共16分)5.复平面内,点(2,3)对应的复数的共轭复数为________.【解析】复平面内,点(2,3)对应的复数z=2+3i,共轭复数为=2-3i.答案:2-3i6.复数z1=3与z2=2-i对应的两点间的距离为__________.【解析】复数z1=3与z2=2-i对应的两点Z1(3,0),Z2(2,-)间的距离为|Z1Z2|==2.答案:27.已知z-|z|=-1+i,则复数z=______.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),由题意得x+yi-=-1+i,即(x-)+yi=-1+i,所以解得所以z=i.答案:i8.设(1+i)sinθ-(1+icosθ)对应的点在直线x+y+1=0上,则tanθ的值为________.【解析】(1+i)sinθ-(1+icosθ)=(sinθ-1)+(sinθ-cosθ)i,对应点为(sinθ-1,sinθ-cosθ),由点(sinθ-1,sinθ-cosθ)在直线x+y+1=0上,得sinθ-1+sinθ-cosθ+1=0,即2sinθ=cosθ,所以tanθ=.答案:三、解答题(共38分)9.(12分)如果复数z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.【解析】因为复数z对应的点在第一象限.所以解得m或m.所以实数m的取值范围为∪.10.(12分)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因为与共线,所以存在实数k使=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以所以即a的值为-.11.(14分)设复数z=(2x+a)+(2-x+a)i,x,a∈R,当x在内变化时,求|z|的最小值g(a).【解析】|z|2=(2x+a)2+(2-x+a)2=22x+2-2x+2a(2x+2-x)+2a2.令t=2x+2-x,则t≥2,且22x+2-2x=t2-2.从而|z|2=t2+2at+2a2-2=(t+a)2+a2-2,当-a≥2,即a≤-2时,g(a)=;当-a2,即a-2时,g(a)==|a+1|.综上可知g(a)=