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课时素养检测十七复数的加、减运算及其几何意义(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.(2020·济宁高一检测)已知复数z在复平面上对应的点为(-1,1),则()A.z+1是实数B.z+1是纯虚数C.z+i是实数D.z+i是纯虚数【解析】选B.由题意可得,z=-1+i,则z+1=i为纯虚数,z+i=-1+2i是虚数,但不是纯虚数.2.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4【解析】选A.因为(1+i)+(2-3i)=a+bi,所以3-2i=a+bi,所以a=3,b=-2.3.已知复数z1=1+2i,z2=3-4i,若z+z1=z2-z,则复数z=()A.1+3iB.1-3iC.2-6iD.3+4i【解析】选B.设z=a+bi,a,b∈R,由复数z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,得a+bi+1+2i=3-4i-(a+bi),得(a+1)+(b+2)i=(3-a)+(-4-b)i,所以a+1=3-a,b+2=-4-b,得a=1,b=-3,所以z=1-3i.【一题多解】选B.因为复数z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,所以2z=z2-z1=3-4i-(1+2i)=2-6i,所以z=1-3i.4.设z1=2+bi,z2=a+i,a,b∈R,当z1+z2=0时,复数a+bi为()A.1+iB.2+iC.3D.-2-i【解析】选D.因为z1+z2=(2+bi)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i,且z1+z2=0,所以解得所以a+bi=-2-i.【补偿训练】在复平面内,复数1+i和1+3i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则||=()A.B.2C.D.4【解析】选B.由复数减法运算的几何意义知,对应的复数为(1+3i)-(1+i)=2i,所以||=2.5.如图,设向量,,所对应的复数为z1,z2,z3,那么()A.z1-z2-z3=0B.z1+z2+z3=0C.z2-z1-z3=0D.z1+z2-z3=0【解析】选D.由题图可知,+=0,所以+-=0,所以z1+z2-z3=0.【补偿训练】复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.4D.16【解析】选C.由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.6.(多选题)下列关于复数的叙述正确的是()A.两个共轭复数的和是实数B.两个共轭复数的差是虚数C.两个共轭虚数的和是实数D.两个共轭虚数的差是虚数【解析】选ACD.设复数z=a+bi,a,b∈R,则共轭复数=a-bi,所以有z+=2a∈R,z-=2bi,当b=0时,z-是实数,当b≠0时,z-是虚数,A正确,B不正确.设虚数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,则共轭虚数=a-bi,所以有z+=2a∈R,z-=2bi是虚数,C正确,D正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.计算(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)=________.【解析】(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)=(1-2+3)+(-3+4+5)i=2+6i.答案:2+6i8.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=________.【解析】设z=a+bi,a,b∈R,由|z|=3,得a2+b2=9,且z+3i=a+(b+3)i是纯虚数,得a=0,b=±3,当z=-3i时,z+3i=0,不是纯虚数,所以z=3i.答案:3i【补偿训练】1.已知|z|=,且z-2+4i为纯虚数,则z=________.【解析】设复数z=x+yi(x,y∈R),则z-2+4i=(x-2)+(y+4)i.由题意知所以或所以z=2±i.答案:2±i2.已知向量和向量对应的复数分别为3+4i和2-i,则向量对应的复数为__________.【解析】因为=-,所以对应复数为(2-i)-(3+4i)=-1-5i.答案:-1-5i三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i所对应的点分别为A,B,C.若=x+y,求x+y的值.【解析】由于复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i所对应的点分别为A,B,C,所以=-1+2i,=1-i,=3-2i,因为=x+y,所以3-2i=x(-1+2i)+y(1-i),所以解得故x+y=5.10.已知z1=-3+i,z2=2+6i对应的向量分别为和,以OZ1,OZ2为邻边作平行四边形OZ1CZ2.求向量,,对应的复数.【解析】由复数加减法的几何意义知,向量对应的复数为z1+z2=(-3+i)+(2+6i)=-1+7i,向量对应的复数z2-z1=(2+6i)-(-3+i)=5+5i;向量对应的复数z1-z2=-5-5i.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知复数z1=1+3i,z2=2-ai,(a∈R),若z1+z2的和所对应的点在实轴上,则a的值为()A.1B.2C.3D.-3【解析】选C.由复数z1=1+3i,z2=2-ai,得z1+z2=3+(3-a)i,由于对应的点在实轴上,则a=3.2.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分别是A,B,C,则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是()A.5-9iB.-5-3iC.7-11iD.-7+11i【解析】选C.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分别是A,B,C,则=(-3,-2),=(-4,5),=(2,1),所以平行四边形ABCD的对角线BD满足=+=(-)+(-)=(7,-11),所对应的复数是7-11i.3.(多选题)设z1,z2∈C,则下列关系正确的是()A.|z1+z2||z1|B.|z1-z2||z1|C.|z1+z2|≤|z1|+|z2|D.|z1-z2|≤|z1|+|z2|【解析】选CD.若z2=0时,|z1+z2|=|z1|,|z1-z2|=|z1|,故A,B不正确.设复数z1,z2对应平面向量,,当与不共线时,|+|||+||,当与方向相同时,|+|=||+||,故|+|≤||+||,即|z1+z2|≤|z1|+|z2|,C正确.当与不共线时,|-|||+||,当与方向相反时,|-|=||+||,故|-|≤||+||,即|z1-z2|≤|z1|+|z2|,D正确.4.复数z1=1+icosθ,z2=sinθ-i,则|z1-z2|的最大值为()A.3-2B.-1C.3+2D.+1【解析】选D.|z1-z2|=|(1+icosθ)-(sinθ-i)|===≤=+1.二、填空题(每小题4分,共16分)5.复平面内三点A,B,C,点A对应的复数为3-4i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-2i,则点C对应的复数为________.【解析】由点A对应的复数为3-4i,向量对应的复数为1+2i,向量对应复数为3-2i,得=+=+-=(3-4i)+(3-2i)-(1+2i)=5-8i,所以点C对应的复数为5-8i.答案:5-8i6.如果复数z满足z+|z|=2-4i,则=________.【解析】设z=a+bi,a,b∈R,由z+|z|=2-4i,得a+bi+=2-4i,得b=-4,a+=2,所以a+=2,=2-a,两边平方,得a2+16=4-4a+a2,解得a=-3,所以z=-3-4i,=-3+4i.答案:-3+4i7.已知复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则|+|=________.【解析】复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,设AB的中点为D,则=,由向量加法的平行四边形法则,得+=2=3=3+3i,故|+|=3.答案:38.复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,则B点对应的复数为________.【解析】因为表示的复数是2+4i,表示的复数是4+i,所以=-=(4+i)-(2+4i)=2-3i,故=+=(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B点对应的复数为zB=5-2i.答案:5-2i三、解答题(共38分)9.(12分)已知复数z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,(x,y∈R),设z=z1-z2=14-11i,求z1+z2.【解析】由z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),z=z1-z2=14-11i,得(5x-3y)+(x+4y)i=14-11i,所以解得所以z1=(3x+y)+(y-4x)i=-7i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i=-14+4i,z1+z2=-14-3i.10.(12分)已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.【解析】方法一:设z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,由|z1|2=|z2|2=1,|z1+z2|2=3,得a2+b2=1,①c2+d2=1,②(a+c)2+(b+d)2=3,③将①②代入③,得ac+bd=.所以|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1,所以|z1-z2|=1.方法二:由z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,根据复数与向量的对应关系以及平行四边形法则可知,z1,z2,z1+z2所对应的点围成菱形ABCD,如图,在△ABC中,由余弦定理,得cos∠ABC==-,所以∠ABC=120°,∠BAD=60°,所以△ABD是等边三角形,所以=1,即=1.11.(14分)在平行四边形ABCD中,已知,对应的复数分别为z1=3+5i,z2=-1+2i.(1)求对应的复数;(2)求对应的复数;(3)求平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)由于=+=+,所以=-.故对应的复数为z=z1-z2=(3+5i)-(-1+2i)=4+3i.(2)由于=-=-,所以对应的复数为(4+3i)-(-1+2i)=5+i.(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中,==(-1,2),==(4,3),所以cos∠DAB===.因此sin∠DAB==.所以平行四边形ABCD的面积S=||||sin∠DAB=×5×=11.