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课时素养检测十九棱柱、棱锥、棱台的结构特征(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.下面多面体中,是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.根据棱柱的定义进行判定知,这4个图都满足.2.下列说法正确的是()A.有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B.多面体至少有3个面C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形【解析】选D.选项A错误,反例如图1;一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B错误;选项C错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体;根据棱柱的定义,知选项D正确.3.下列说法正确的是()A.棱柱的面中,至少有两个互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中各条棱长都相等D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.由棱柱的定义知,棱柱的底面平行,故A正确;六棱柱有三对相对的两个面平行,但都是侧面,故B错误;棱柱的侧棱相等,但是各条棱不一定都相等,故C错误;棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错误.4.有一个多面体,共由四个面围成,每一个面都是三角形,则这个几何体为()A.四棱柱B.四棱锥C.三棱柱D.三棱锥【解析】选D.四个面都是三角形的几何体只能是三棱锥.5.(多选题)下列说法中不正确的是()A.所有的棱柱都有一个底面B.棱柱的顶点至少有6个C.棱柱的侧棱至少有4条D.棱柱的棱至少有4条【解析】选ACD.棱柱有两个底面,所以A项不正确;棱柱底面的边数至少是3,则在棱柱中,三棱柱的顶点数最少是6,三棱柱的侧棱数最少是3,三棱柱的棱数最少是9,所以C、D项不正确,B项正确.6.用一个平面去截一个三棱锥,截面形状是()A.四边形B.三角形C.三角形或四边形D.不可能为四边形【解析】选C.按如图①所示用一个平面去截三棱锥,截面是三角形;按如图②所示用一个平面去截三棱锥,截面是四边形.二、填空题(每小题4分,共8分)7.一个正方体的六个面上分别标有字母A,B,C,D,E,F,如图是此正方体的两种不同放置,则与D面相对的面上的字母是________.【解析】由正方体的两种不同放置可知:与C相对的是F,由题干图A、D与C排列的位置可知D与B相对.答案:B8.一个棱台至少有________个面,面数最少的棱台有________个顶点,有________条棱.【解析】面数最少的棱台是三棱台,共有5个面,6个顶点,9条棱.答案:569三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图所示的几何体中,所有棱长都相等,分析此几何体的构成?有几个面、几个顶点、几条棱?【解析】这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体,有8个面,都是全等的正三角形;有6个顶点;有12条棱.10.根据下面对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.(1)由8个面围成,其中2个面是互相平行且全等的六边形,其他各面都是平行四边形;(2)由5个面围成,其中一个是正方形,其他各面都是有1个公共顶点的三角形.【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知,该几何体为六棱柱.(2)根据棱锥的结构特征可知,该几何体为四棱锥.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下面说法不正确的是()A.棱锥的侧面不一定是三角形B.棱柱的各侧棱长不一定相等C.棱台的各侧棱延长必交于一点D.用一个平面截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,另一个是棱台【解析】选ABD.棱台的各侧棱延长后必交于一点,C正确,其余都不正确.故选ABD.2.有下列三组定义:①有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱;②用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台;③有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.其中正确定义的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由棱柱的定义可知只有①正确,②中截面必须平行于底面,③中其余各三角形应有一个公共顶点,所以②③都不正确.3.观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确的是()A.①是棱柱B.②不是棱锥C.③不是棱锥D.④是棱台【解析】选B.结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故B错误.4.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是()A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1【解析】选C.不满足==的一定不是棱台,满足==的也不一定是棱台.根据提供的数据,A,B中对应边不成比例,D中对应边相等,故A,B,D一定不是棱台,C中对应边成比例,可能是棱台.二、填空题(每小题4分,共16分)5.五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线共有________条.【解析】在上底面选一个顶点,有5种,同时在下底选一个顶点,且这两个顶点不在同一侧面上,这样上底面每个顶点对应两条对角线,所以共有5×2=10条.答案:106.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是____________(写出所有正确结论的序号).①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.【解析】在如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,若所取四点共面,则只能是正方体的表面或对角面.即正方形或长方形,所以①正确,②错误.棱锥A-BDA1符合③,所以③正确;棱锥A1-BDC1符合④,所以④正确;棱锥A-A1B1C1符合⑤,所以⑤正确.答案:①③④⑤7.侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体.底面是矩形的直平行六面体叫做长方体.棱长都相等的长方体叫做正方体.请根据上述定义,回答下面的问题(填“一定”“不一定”或“一定不”):(1)直四棱柱__________是长方体.(2)正四棱柱__________是正方体.【解析】根据上述定义知:长方体一定是直四棱柱,但是直四棱柱不一定是长方体;正方体一定是正四棱柱,但是正四棱柱不一定是正方体.答案:(1)不一定(2)不一定8.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为________cm.【解析】依题意,此棱柱为五棱柱,5条侧棱长均相等,故每条侧棱长为60÷5=12(cm).答案:12三、解答题(共38分)9.(12分)如图四棱柱ABCD�A′B′C′D′被平面BCEF所截得的两部分分别是怎样的几何体?几何体ABCD�A′FED′若是棱柱,指出它的底面和侧面.【解析】所截两部分分别是四棱柱和三棱柱;几何体ABCD�A′FED′是四棱柱,它的底面是平面ABFA′和平面DCED′,侧面为平面ABCD,平面BCEF,平面ADD′A′和平面A′D′EF,侧面均为平行四边形.10.(12分)如图,正方形ABCD的边长为a,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.若沿EF,FG,GH,HE将四角折起,试问能折成一个四棱锥吗?为什么?【解析】不能.连接EG,FH,将正方形分成四个一样的小正方形.若将正方形ABCD沿EF,FG,GH,HE折起,则四个顶点必重合于正方形的中心,故不能折成一个四棱锥.11.(14分)在以O为顶点的三棱锥中,过O的三条棱两两的交角都是30°,在一条侧棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求此绳在A,B之间的最短绳长.【解析】作出三棱锥的平面展开图,如图,A,B两点间的最短绳长就是线段AB的长度.OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB==5,即此绳在A,B间最短的绳长为5.