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课时素养检测二十二棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.正方体的表面积为96,则正方体的体积是()A.48B.64C.16D.96【解析】选B.设正方体棱长为a,则6a2=96,a=4,V正方体=a3=64.2.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,则三棱锥B1-ABC的体积为()A.B.C.D.【解析】选D.V=Sh=××3=.3.底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线长为,体对角线长为,则这个棱柱的侧面积是()A.2B.4C.6D.8【解析】选D.由已知得底面边长为1,侧棱长为=2.所以S侧=1×2×4=8.4.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1-ACD的体积是()A.B.C.D.1【解析】选A.三棱锥D1-ADC的体积V=S△ADC×D1D=××AD×DC×D1D=××1×1×1=.5.棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是()A.4∶9B.10∶19C.7∶19D.5∶9【解析】选C.设棱台高为2h,上底面面积为S,则下底面面积为9S,中截面面积为4S,==.6.(多选题)下列说法正确的有()A.多面体的表面积等于各个面的面积之和B.棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的C.沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等D.多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和【解析】选AD.A正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和.B错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形.C错误.由于剪开的棱不同,同一个几何体的表面展开图可能不是全等形.但是,不论怎么剪,同一个多面体表面展开图的面积是一样的.D正确.多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和.二、填空题(每小题4分,共8分)7.(2019·江苏高考)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是________.【解题指南】考查空间几何体的体积,可通过棱锥和棱柱的体积转化求得.【解析】设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则长方体的体积为abc=120,三棱锥E-BCD的体积为S△BDC×c=×ab×c=abc=10.答案:108.一个长方体的过同一顶点的三个面的面积分别是,,,则这个长方体的体积为________,表面积为________.【解析】设长方体的棱长分别为a,b,c,则三式相乘可知(abc)2=6,所以长方体的体积V=abc=,表面积为S=2+2+2.答案:2+2+2三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,高为3,求它的表面积.【解析】如图,高PO=3,PE是斜高,因为S侧=2S底,所以4··BC·PE=2BC2,所以BC=PE.在Rt△POE中,PO=3,OE=BC=PE,所以9+=PE2,所以PE=2.所以S底=BC2=PE2=(2)2=12,S侧=2S底=2×12=24,所以S表=S底+S侧=12+24=36.10.某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均为正方形,侧面为全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD,其上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.现需对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:cm),若加工处理费为0.2元/cm2,则需支付加工处理费多少元?【解析】因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以该零部件上部的表面积S1=S四棱柱上底面+S四棱柱侧面=A2+4AB·AA2=102+4×10×30=1300(cm2),又四棱台A1B1C1D1-ABCD的上下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,所以该零部件下部的表面积S2=S四棱台下底面+S四棱台侧面=A1+4××(AB+A1B1)×h等腰梯形的高=202+4××(10+20)×=1120(cm2),则该实心零部件的表面积S=S1+S2=1300+1120=2420(cm2),0.2×2420=484(元),故需支付加工处理费484元.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.棱长为2的正四面体的表面积是()A.B.4C.4D.16【解析】选C.每个面的面积为×2×2×=,所以正四面体的表面积为4.2.侧面是正三角形的正三棱锥,体积是,则其表面积为()A.2B.6C.4D.12【解析】选C.设正三棱锥的棱长为a,则其高h==a,所以V=×a2×a=a3.由a3=,解得a=2.所以S表=4×a2=a2=4.3.已知一个正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,那么它的体积为()A.6B.C.2D.2【解析】选B.因为正六棱锥的高h==2,所以V=Sh=×6××2=.4.(多选题)一个长方形的长为8,宽为4,将它沿与边平行的线折3次折叠成一个正四棱柱,则此正四棱柱的体积可能为()A.4B.8C.16D.24【解析】选BC.若以长为正四棱柱的高,则V=1×1×8=8;若以宽为正四棱柱的高,则V=2×2×4=16.二、填空题(每小题4分,共16分)5.侧面是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a,该三棱锥的表面积为_______.【解析】底面边长为a,则斜高为,故S侧=3×a×a=a2.而S底=a2,故S表=a2.答案:a26.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥A-DED1的体积为________.【解析】==××1×1×1=.答案:7.一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为__________.【解析】因为E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V=SEFCB×3=S△ABC×3=S△ABC,设图甲中水面的高度为h,则S△ABC×h=S△ABC,所以h=.答案:【补偿训练】一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面,以它们的公共顶点P为顶点,加工成一个如图所示的正四棱锥形容器.当x=6cm时,求该容器的容积.【解析】如图所示,由题意可知,这个正四棱锥形容器的底面是以6cm为边长的正方形,侧面的斜高PM=5cm,高PO===4(cm),所以所求容积为V=×62×4=48(cm3).8.如图所示,正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,则四棱台的表面积等于________,体积等于________.【解析】因为正四棱台的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,所以上底面、下底面的面积分别是4,16.因为侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,所以侧面的高为=,一个等腰梯形的面积为×(2+4)×=3,所以四棱台的表面积为4+16+3×4=20+12.四棱台的高h==,所以四棱台的体积V=×(4++16)×=.答案:20+12三、解答题(共38分)9.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分,求V1∶V2.【解析】设三棱柱的高为h,底面的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.因为E,F分别为AB,AC的中点,所以S△AEF=S,V1=h=Sh,V2=Sh-V1=Sh,所以V1∶V2=7∶5.10.(12分)如图所示,△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5,求该几何体的体积.【解析】如图所示,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.由题知三棱柱ABC-NDM的体积V1=×8×6×3=72,四棱锥D-MNEF的体积V2=×·DN=××(1+2)×6×8=24,则几何体的体积V=V1+V2=72+24=96.11.(14分)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.【解析】如图,在三棱台ABC-A′B′C′中,取上、下底面的中心分别为O′,O,BC,B′C′的中点分别为D,D′,则DD′是梯形BCC′B′的高.所以S侧=3××(20+30)×DD′=75DD′.又因为A′B′=20cm,AB=30cm,则上、下底面面积之和为S上+S下=×(202+302)=325(cm2).由S侧=S上+S下,得75DD′=325,所以DD′=(cm),O′D′=×20=(cm),OD=×30=5(cm),所以棱台的高h=O′O===4(cm).由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V=(S上+S下+)=×=1900(cm3).