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课时素养检测二十四平面(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.如图所示,下列符号表示错误的是()A.l∈αB.P∉lC.l⊂αD.P∈α【解析】选A.观察图知:P∉l,P∈α,l⊂α,则l∈α是错误的.2.下面四个说法(其中A、B表示点,a表示直线,α表示平面):①因为A⊂α,B⊂α,所以AB⊂α;②因为A∈α,B∉α,所以AB∉α;③因为A∉a,a⊂α,所以A∉α;④因为A∈a,a⊂α,所以A∈α.其中表述方式和推理都正确的命题的序号是()A.①④B.②③C.④D.③【解析】选C.①错,应写为A∈α,B∈α;②错,应写为AB⊄α;③错,推理错误,有可能A∈α;④推理与表述都正确.3.下列命题中,正确的是()A.经过正方体任意两条面对角线,有且只有一个平面B.经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面C.经过正方体任意两条棱,有且只有一个平面D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线,有且只有一个平面【解析】选B.因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心),因此经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面.4.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与HG交于点M,那么()A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在直线AC上,也可能在直线BD上D.M既不在直线AC上,也不在直线BD上【解析】选A.如图,因为EF∩HG=M,所以M∈EF,M∈HG,又EF⊂平面ABC,HG⊂平面ADC,故M∈平面ABC,M∈平面ADC,所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC.二、填空题(每小题4分,共8分)5.用符号语言表示以下各概念:①点A,B在直线a上________;②直线a在平面α内________.答案:①A∈a,B∈a②a⊂α6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上).【解析】图形①中,连接MN,PQ(图略),则由正方体的性质得MN∥PQ,根据两条平行直线可以确定一个平面知①正确.分析可知③中四点共面,②④中四点均不共面.答案:①③三、解答题(共26分)7.(12分)空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明此三条直线必相交于一点.【证明】已知α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3,且l1,l2,l3两两不平行.求证:l1,l2,l3必交于一点.证明:因为l1⊂β,l2⊂β,l1与l2不平行,所以l1∩l2=P,因为P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ,所以P∈α∩γ=l3,故l1,l2,l3交于一点.8.(14分)如图,△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,B1C1∥BC,C1A1∥CA.求证:AA1,BB1,CC1交于一点.【证明】如图所示,因为A1B1∥AB,所以A1B1与AB确定一平面,记为平面α.同理,将B1C1与BC所确定的平面记为平面β,C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.易知β∩γ=C1C.又△ABC与△A1B1C1不全等,所以AA1与BB1相交,设交点为P,P∈AA1,P∈BB1.而AA1⊂γ,BB1⊂β,所以P∈γ,P∈β,所以P在平面β与平面γ的交线上.又β∩γ=C1C,所以P∈C1C,所以AA1,BB1,CC1交于一点.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.下列推理错误的是()A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC.l⊄α,A∈l⇒A∉αD.A∈l,l⊂α⇒A∈α【解析】选C.若直线l∩α=A,显然有l⊄α,A∈l,但A∈α.2.下列四个说法:①三点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③若四点不共面,则每三点一定不共线;④三条平行直线确定三个平面.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.对于①,三个不共线的点可以确定一个平面,所以①不正确;对于②,一条直线和直线外一点可以确定一个平面,所以②不正确;对于③,若三点共线了,四点一定共面,所以③正确;对于④,当三条平行线共面时,只能确定一个平面,所以④不正确.3.如果点A在直线l上,而直线l又在平面α内,那么可以记作()A.A⊂l,l⊂αB.A⊂l,l∈αC.A∈l,l∈αD.A∈l,l⊂α【解析】选D.点A在直线l上记作A∈l,l在平面α内,记作l⊂α.4.(多选题)用一个平面截正方体所得的截面图形可能是()A.六边形B.五边形C.菱形D.直角三角形【解析】选ABC.正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形.5.空间中四点可确定的平面有()A.1个B.3个C.4个D.1个或4个或无数个【解析】选D.当四个点在同一条直线上时,经过这四个点的平面有无数个;当这四个点为三棱锥的四个顶点时,可确定四个平面;当这四个点为平面四边形的四个顶点时,确定一个平面;当其中三点共线于l,另一点不在直线l上时,也确定一个平面,故选D.6.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①P∈a,P∈α⇒a⊂α;②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④【解析】选D.当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,所以①错;a∩β=P时,②错;如图,因为a∥b,P∈b,所以P∉a,所以由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,所以β与α重合,所以b⊂α,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是________.【解析】因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD.因为l∩α=O,所以O∈α.又因为O∈AB⊂β,所以O∈直线CD,所以O,C,D三点共线.答案:共线8.下列说法:①空间三条直线两两平行,则三条直线在同一个平面内;②空间三条直线两两相交,则三条直线在同一个平面内;③空间四点E,F,G,H在同一平面内,则直线EF与GH可能平行,也可能相交.其中正确的序号是________.【解析】三棱柱的三条侧棱两两平行,但三条侧棱所在直线不在同一平面内,故①错;若三条直线交于同一点,则三条直线可能不在同一平面内,故②错;同一平面内的两条直线不平行,就相交,故③正确.答案:③三、解答题(共38分)9.(12分)如图,在四面体A-BCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.求证:M,N,K三点共线.【证明】因为M∈PQ,直线PQ⊂平面PQR,M∈BC,直线BC⊂平面BCD,所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,所以M在平面PQR与平面BCD的交线上.同理可证,N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上.所以M,N,K三点共线.10.(12分)如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出直线l的位置;(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长.【解析】(1)延长DM交D1A1的延长线于E,连接NE,则NE即为直线l的位置.(2)因为M为AA1的中点,AA1∥DD1,所以AD=A1E=A1D1=a.因为A1P∥D1N,且D1N=a,所以A1P=D1N=a,于是PB1=A1B1-A1P=a-a=a.11.(14分)已知:a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线.求证:a,b,c,d共面.【证明】(1)有三线共点的情况,如图.设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K∉a.因为K∉a,所以K和a确定一个平面,设为α.因为N∈a,a⊂α,所以N∈α所以NK⊂α,即b⊂α.同理,c⊂α,d⊂α,所以a,b,c,d共面.(2)无三线共点情况,如图.设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α.所以NQ⊂α,即b⊂α.同理,c⊂α,所以a,b,c,d共面.由(1)(2)可知,a,b,c,d共面.【补偿训练】已知:如图,空间四边形ABCD中,E、H分别为BC、AB的中点,F在CD上,G在AD上,且有DF∶FC=DG∶GA=1∶2.求证:直线EF、BD、HG交于一点.【解题指南】先证EF、HG一定相交于一点,再证这一点在直线BD上.【证明】连接EH、AC、FG.因为E、H分别为BC、AB的中点,所以EH=AC且EH∥AC.因为DF∶FC=1∶2,DG∶GA=1∶2,所以FG∥AC,FG=AC,所以EH∥FG且EH≠FG.所以E,F,G,H四点共面且EF与GH不平行.所以EF与GH相交.设EF∩GH=O,则O∈GH,O∈EF.因为GH⊂平面ABD,EF⊂平面BCD,所以O∈平面ABD,O∈平面BCD.因为平面ABD∩平面BCD=BD,所以O∈BD,即直线EF、BD、HG交于一点.