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课时素养检测二十八平面与平面平行(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.下列图形中能正确表示语句“平面α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∥β”的是()【解析】选D.选项A不满足b⊂β,选项B,C不满足a∥β,选项D满足所有条件.2.已知α∥β,a⊂α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线【解析】选D.由直线a与点B确定一个平面,记为γ,设γ∩β=b,因为α∥β,a⊂α,所以a∥β.所以a∥b.只有一条.3.如图,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定【解析】选A.因为E,E1分别是AB,A1B1的中点,所以A1E1EB,所以四边形A1EBE1为平行四边形,所以A1E∥BE1,又A1E⊄平面BCF1E1,BE1⊂平面BCF1E1,所以A1E∥平面BCF1E1,同理A1D1∥平面BCF1E1,又A1D1∩A1E=A1,所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.4.平面α∥β的条件是()A.α内有无穷多条直线与β平行B.直线a∥α,a∥βC.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥αD.α内的任何直线都与β平行【解析】选D.如图①,α内可有无数条直线与β平行,但α与β相交,选项A错.如图②,a∥α,a∥β,但α与β相交,选项B错.如图③,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,但α与β相交,选项C错.5.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点(含边界),且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是()A.平面B.直线C.线段,但只含1个端点D.圆【解析】选C.因为平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,所以DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图略),则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).6.(多选题)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,以下说法正确的是()A.BM∥平面ADEB.CN∥平面BAFC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCF【解析】选ABCD.以ABCD为下底还原正方体,如图所示,则易判定四个说法都正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.设平面α∥β,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,直线AB与CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34,当点S在平面α,β之间时,CS等于________.【解析】如图,由题意知,△ASC∽△BSD,因为CD=34,所以SD=34-CS.由AS∶BS=CS∶(34-CS)知,8∶9=CS∶(34-CS),所以CS=16.答案:16【补偿训练】设平面α∥β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于S,若AS=18,BS=9,CD=34,则CS=__________.【解析】如图(1),由α∥β可知BD∥AC,所以=,即=,所以SC=68.如图(2),由α∥β知AC∥BD,所以==,即=.所以SC=.答案:68或8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC平行的平面是________;与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是________.【解析】观察图形,根据直线与平面平行的判定定理可知,与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1;因为平面A1B1C1D1与平面A1B1BA的交线是A1B1,所以与其都平行的棱是DC.答案:平面A1B1C1D1与平面ADD1A1DC三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,四边形ABCD和ADEF都是正方形,点M在BD上,N在AE上且BM=AN.求证:MN∥平面CDE.【证明】方法一:过M点作AD的平行线交CD于O,过N作AD的平行线交DE于P,连接OP.显然OP在平面CDE上,且MO∥NP,由于BM=AN,且正方形ABCD、ADEF共边,所以MD=NE.△MOD∽△BCD,所以=.同理可得=,所以MO=NP,因此四边形MOPN为平行四边形,有MN∥OP,又因为MN⊄平面CDE,OP⊂平面CDE,故MN∥平面CDE.方法二:连接AM并延长交CD于P,连接EP.在正方形ABCD中,=.又AN=BM,AE=BD,所以=,所以MN∥EP.因为MN⊄平面CDE,EP⊂平面CDE,所以MN∥平面CDE.方法三:作MO⊥AB于点O,NP⊥AD于点P,连接PM,因为四边形ABCD和四边形ADEF都是正方形,所以∠BAD=∠ADE=90°,所以OM∥AP,PN∥DE.因为∠OBM=∠PAN=45°,所以OM=BM,AP=AN.因为BM=AN,所以OM=AP.所以四边形OMPA是平行四边形.所以MP∥OA∥CD.因为MP⊂平面PMN,PN⊂平面PMN,MP∩PN=P,CD⊂平面CED,DE⊂平面CED,CD∩DE=D,所以平面PMN∥平面CED.因为MN⊂平面PMN,所以MN∥平面CDE.10.如图,平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且=.求证:EF∥平面β.【证明】(1)若直线AB和CD共面,因为α∥β,平面ABDC与α,β分别交于AC,BD,所以AC∥BD.又=,所以EF∥AC∥BD.所以EF∥平面β.(2)若AB与CD异面,如图所示,连接BC并在BC上取一点G,使得=,则在△BAC中,EG∥AC,而AC⊂平面α,EG⊄平面α,所以EG∥α.又α∥β,所以EG∥β.同理可得GF∥BD,而BD⊂β,GF⊄β,所以GF∥β.又EG∩GF=G,所以平面EGF∥β.又EF⊂平面EGF,所以EF∥平面β.综合(1)(2)得EF∥平面β.【补偿训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD和B1C的中点.求证:(1)MN∥平面CC1D1D.(2)平面MNP∥平面CC1D1D.【证明】(1)连接AC,CD1.因为四边形ABCD为正方形,N为BD中点,所以N为AC中点.又因为M为AD1中点,所以MN∥CD1.因为MN⊄平面CC1D1D,CD1⊂平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D.(2)连接BC1,C1D.因为四边形BB1C1C为正方形,P为B1C中点,所以P为BC1中点,又因为N为BD中点,所以PN∥C1D.因为PN⊄平面CC1D1D,C1D⊂平面CC1D1D,所以PN∥平面CC1D1D,由(1)知MN∥平面CC1D1D,又MN∩PN=N,所以平面MNP∥平面CC1D1D.(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共12分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,m∥β,若使α∥β成立,则需增加条件()A.n是直线且n⊂α,n∥βB.n,m是异面直线,n∥βC.n,m是相交直线且n⊂α,n∥βD.n,m是平行直线且n⊂α,n∥β【解析】选C.要使α∥β成立,需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行,n,m是相交直线且n⊂α,n∥β,m⊂α,m∥β,由平面和平面平行的判定定理可得α∥β.2.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当点A,B分别在平面α,β内运动时,动点C()A.不共面B.当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.无论点A,B如何移动都共面【解析】选D.无论点A,B如何移动,其中点C到α,β的距离始终相等,故点C在到α,β距离相等且与两平面都平行的平面上.3.(多选题)已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理不正确的是()A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥bB.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且b∥βC.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥βD.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b【解析】选ABC.选项A中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;选项C中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a与b相交,才能得出α∥β,故C不正确;选项D为面面平行性质定理的符号语言,故D正确.二、填空题(每小题4分,共16分)4.如图,已知S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且=,则MN__________平面SBC.【解析】过N作NG∥AD,交AB于G,连接MG,可得=,由已知条件=,得=,所以MG∥SB.因为MG⊄平面SBC,SB⊂平面SBC,所以MG∥平面SBC.又AD∥BC,所以NG∥BC,NG⊄平面SBC,BC⊂平面SBC,所以NG∥平面SBC,NG∩MG=G,所以平面SBC∥平面MNG,因为MN⊂平面MNG,所以MN∥平面SBC.答案:∥5.已知点S是正三角形ABC所在平面外一点,点D,E,F分别是SA,SB,SC的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是__________.【解析】由D,E,F分别是SA,SB,SC的中点,知EF是△SBC的中位线,所以EF∥BC.又因为BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC,又因为EF∩DE=E,所以平面DEF∥平面ABC.答案:平行6.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是________(填序号).①平面ABC必平行于α;②平面ABC必与α相交;③平面ABC必不垂直于α;④存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内.【解析】平面α外不共线且到α距离都相等的三点可以在平面α的同侧,也可以在平面α的异侧,若A,B,C在α的同侧,则平面ABC必平行于α;若A,B,C在α的异侧,平面ABC必与α相交且交线是△ABC的一条中位线所在直线,排除①②③.答案:④7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AA1C1C和平面BB1D1D的交线与棱CC1的位置关系是________,截面BA1C1和直线AC的位置关系是________.【解析】如图所示,平面AA1C1C∩平面BB1D1D=OO1,O为底面ABCD的中心,O1为底面A1B1C1D1的中心,所以OO1∥CC1.又AC∥A1C1,A1C1⊂平面BA1C1,AC⊄平面BA1C1,所以AC∥平面BA1C1.答案:平行平行三、解答题(共32分)8.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D1,D分别为B1C1,BC的中点.求证:平面A1D1B∥平面ADC1.【证明】连接D1D.因为D1D�B1B�A1A,所以四边形A1ADD1为平行四边形,所以A1D1∥AD.因为A1D1⊄平面ADC1,AD⊂平面ADC1,所以A1D1∥平面ADC1.因为BD1∥DC1,BD1⊄平面ADC1,DC1⊂平面ADC1,所以BD1∥平面ADC1,又因为A1D1∩BD1=D1,所以平面A1D1B∥平面ADC1.9.(10分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行?【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,所以QB∥PA.连接DB,因为P,O分别为DD1,DB的中点,所以D1B∥PO,又因为D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,又因为D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.【补偿训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,BC=2AD,AC与BD交于点O,点M,N分别在线段PC,AB上,==2.求证:平面MNO∥平面PAD.【证明】在梯形ABCD中,因为AD∥BC,所以=