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课时素养检测三十直线与平面垂直(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c()A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.一定垂直【解析】选D.两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直.2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC【解析】选C.由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.3.若两直线l1与l2异面,则过l1且与l2垂直的平面()A.有且只有一个B.可能存在,也可能不存在C.有无数多个D.一定不存在【解析】选B.当l1⊥l2时,过l1且与l2垂直的平面有一个,当l1与l2不垂直时,过l1且与l2垂直的平面不存在.4.已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为()A.a∥bB.a⊥bC.a,b相交不垂直D.a,b异面不垂直【解析】选B.由b∥α,过b作平面β,使α∩β=c,则b∥c,且c⊂α.因为a⊥α,所以a⊥c.所以a⊥b.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,则PD与平面ABCD所成的角为图中的()A.∠PADB.∠PDAC.∠PDBD.∠PDC【解析】选B.因为PA⊥平面ABCD,所以AD是PD在平面ABCD上的射影,故∠PDA是PD与平面ABCD所成的角.6.(多选题)设l,m,n为三条不同的直线,α为一个平面,下列命题正确的有()A.若l⊥α,则l与α相交B.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥αC.若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥αD.若α∥β,l⊥α则l⊥β【解析】选ACD.A显然正确;对B,只有当m,n相交时,才有l⊥α,故B错误;对C,由l∥m,m∥n⇒l∥n,由l⊥α,得n⊥α,故C正确;对D,α∥β,l⊥α则l⊥β正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于__________.【解析】如图,可将直三棱柱ABC-A1B1C1补成一个正方体ABDC-A1B1D1C1,所以AC1∥BD1.所以BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形,所以∠A1BD1=60°.即BA1与AC1所成的角为60°.答案:60°8.(三空题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于________;AB1与平面ADD1A1所成的角等于________;AB1与平面DCC1D1所成的角等于________.【解析】∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,即45°;∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.答案:45°45°0°三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于四边形ABCD所在的平面,过点A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证:AE⊥SB,AG⊥SD.【证明】因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BC.又BC⊥AB,SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.又AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AEFG,所以SC⊥AE.又BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC,所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.【补偿训练】如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.【证明】因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.因为AB是☉O的直径,所以BC⊥AC.而PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC,所以BC⊥PC.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.(1)证明:PB∥平面ACM;(2)证明:AD⊥平面PAC;(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.【解析】(1)如图,连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM,所以PB∥平面ACM.(2)因为∠ADC=45°,且AD=AC=1,所以∠DAC=90°,即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,而AC∩PO=O,所以AD⊥平面PAC.(3)取DO的中点N,连接MN,AN.因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN=PO=1.由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.在Rt△DAO中,AD=1,AO=,所以DO=,从而AN=DO=.在Rt△ANM中,tan∠MAN===,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直,则l⊥α;②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α;③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.A.0B.1C.2D.3【解析】选D.由直线和平面垂直的判定定理知①正确;由直线与平面垂直的定义知,②正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条直线垂直,故③不对;④正确.2.直线l与平面α所成的角为70°,直线l∥m,则m与α所成的角等于()A.20°B.70°C.90°D.110°【解析】选B.因为l∥m,所以直线l与平面α所成的角等于直线m与平面α所成的角,又直线l与平面α所成的角为70°,所以直线m与平面α所成的角为70°.3.若斜线段AB是它在平面α上的射影长的2倍,则AB与平面α所成的角是()A.60°B.45°C.30°D.120°【解析】选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示,∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,又AB=2BO,所以cos∠ABO=,即∠ABO=60°.4.(多选题)下列说法中错误的是()A.若直线m∥平面α,直线l⊥m,则l⊥αB.若直线l和平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α必相交C.过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直D.过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直【解析】选AB.A错误.若直线m∥平面α,直线l⊥m,则l与α平行、相交或l在α内都有可能.B错误.若直线l和平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能,C.D正确.二、填空题(每小题4分,共16分)5.设点E,F分别是空间四边形ABCD的边AB,CD的中点,且EF=5,BC=6,AD=8,则异面直线AD与EF所成角的正弦值是__________.【解析】取BD中点G,连接EG,FG,因为在△ABD中,E,G分别为AB,BD的中点,所以EG∥AD且EG=AD=4,同理可得:FG∥BC且FG=BC=3,所以∠FEG(或其补角)就是异面直线AD与EF所成的角因为在△FGE中,EF=5,EG=4,FG=3,所以EF2=25=EG2+FG2,所以△FEG为直角三角形,所以sin∠FEG=.答案:6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=,BC=AA1=1,则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________.【解析】如图所示,连接B1D1.则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影,则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角.在Rt△BD1B1中,tan∠BD1B1===,则∠BD1B1=.答案:7.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有AC1⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种即可,不必考虑所有可能的情形)【解析】要找底面四边形ABCD所满足的条件,使AC1⊥B1D1,可从结论AC1⊥B1D1入手.因为AC1⊥B1D1,BD∥B1D1,所以AC1⊥BD.又因为CC1⊥BD,而CC1∩AC1=C1,CC1⊂平面ACC1,AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥平面ACC1,所以BD⊥AC.此题答案不唯一.答案:BD⊥AC(答案不唯一)8.如图所示,E是正方形ABCD所在平面外一点,E在平面ABCD上的正投影F恰在AC上,FG∥BC,AB=AE=2,∠EAB=60°,则以下结论中正确的有__________(填序号).(1)CD⊥平面GEF.(2)AG=1.(3)以AC,AE作为邻边的平行四边形面积是8.(4)∠EAD=60°.【解析】连接EG,由EF⊥平面ABCD得EF⊥CD,又FG∥BC,所以FG⊥AB,所以CD⊥FG.即得CD⊥平面GEF,故(1)正确;因为∠EAB=60°,所以AG=AE=1,故(2)正确;由题意得AF=,所以EF=,所以以AC,AE作为邻边的平行四边形面积是×2=4,故(3)不正确;根据对称性可得∠EAD=∠EAB=60°,故(4)正确.答案:(1)(2)(4)三、解答题(共38分)9.(12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=.(1)求证:PA⊥平面ABCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】(1)因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA=1,PD=,所以PD2=PA2+AD2,所以PA⊥AD,又PA⊥CD,AD∩CD=D,所以PA⊥平面ABCD.(2)四棱锥P-ABCD的底面积为1,因为PA⊥平面ABCD,所以四棱锥P-ABCD的高为PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积为.10.(12分)如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.【解析】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥AD,因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.又BC∩BB1=B,所以AD⊥平面BCC1B1.(2)连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1,则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成的角.在Rt△AC1D中,AD=,AC1=,sin∠AC1D==,即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.11.(14分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,A1D1的中点,求:(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值;(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角.【解析】(1)如图所示,连接DB,因为D1D⊥平面ABCD,所以DB是D1B在平面ABCD内的射影.则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.因为DB=AB,D1B=AB,所以cos∠D1BD==,即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.(2)因为E是A1A的中点,A1A⊥平面A1B1C1D1,所以∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.在Rt△EA1F中,因为F是A1D1的中点,所以∠EFA1为45°.