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课时素养检测三十二平面与平面垂直(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为()A.90°B.60°C.45°D.30°【解析】选A.因为PA⊥平面ABC,BA,CA⊂平面ABC,所以BA⊥PA,CA⊥PA,因此∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90°,所以二面角B-PA-C的大小为90°.2.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A.平面PAB分别与平面PBC、平面PAD垂直B.它们两两垂直C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直【解析】选A.易得DA⊥平面PAB,CB⊥平面PAB,因为DA⊂平面PAD,CB⊂平面PBC,所以平面PAB分别与平面PBC、平面PAD垂直.3.(2018·浙江高考)已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点),设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S-AB-C的平面角为θ3,则()A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1【解析】选D.如图所示,作S的投影点O,取AB的中点F,连接SO,SF,OF,作GE平行于BC,且GE=BC,连接SG,OG,SE,OE.因为S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,所以∠SOF=∠SOE=∠SGE=90°,因为SE与BC所成的角为θ1,所以cosθ1=,因为SE与平面ABCD所成的角为θ2,所以sinθ2=,因为二面角S-AB-C的平面角为θ3,所以sinθ3=,cosθ3=.因为GE=OF,SF≤SE,所以cosθ1≤cosθ3,sinθ2≤sinθ3,即θ1≥θ3,θ2≤θ3,所以θ2≤θ3≤θ1.4.已知直线a,b与平面α,β,γ,下面能使α⊥β成立的条件是()A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b⊂βC.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β【解析】选D.由a∥α,知α内必有直线l与a平行,而a⊥β,所以l⊥β,所以α⊥β.选D.5.已知正方形ABCD的边长为2,若将正方形ABCD沿对角线BD折叠为三棱锥A-BCD,则在折叠过程中,不能出现()A.BD⊥ACB.平面ABD⊥平面CBDC.VA-CBD=D.AB⊥CD【解析】选D.对于A:取BD中点O,因为AO⊥BD,CO⊥BD,AO∩CO=O,所以BD⊥平面AOC,所以BD⊥AC,故A对;对于B:当沿对角线BD折叠成直二面角时,有平面ABD⊥平面CBD,故B对;对于C:当折叠所成的二面角∠AOC=150°时,顶点A到底面BCD的距离为,此时VA-BCD=Sh=×2×=,故C对;对于D:若AB⊥CD,因为BC⊥CD,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,而CD=2,AD=2,即直角边长与斜边长相等,显然不对;故D错.6.(多选题)下列命题中正确的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β【解析】选ABC.如果平面α⊥平面β,那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β,其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直,故D项叙述是错误的.二、填空题(每小题4分,共8分)7.如图所示,平面α⊥平面β,在α与β交线上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和β内,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=3,BD=12,则CD=________.【解析】连接BC.因为BD⊥AB,α⊥β,α∩β=AB,所以BD⊥α.因为BC⊂α,所以BD⊥BC,所以△CBD是直角三角形.在Rt△BAC中,BC==5.在Rt△CBD中,CD==13.答案:138.(双空题)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),写出图中互相垂直的两对平面________,________.【解析】因为DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,所以DA⊥平面PAB,同样BC⊥平面PAB,又易知AB⊥平面PAD,所以DC⊥平面PAD.所以平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.选其中两对即可.答案:平面PAD⊥平面ABCD平面PAD⊥平面PAB(答案不唯一)三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,四边形ABCD是正方形,△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形,点F是PB的中点,点E是边BC上的任意一点.(1)求证:AF⊥EF;(2)求二面角A-PC-B的平面角的正弦值.【解析】(1)因为F是PB的中点,且PA=AB,所以AF⊥PB,因为△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形,所以PA⊥AD,PA⊥AB.因为AD∩AB=A,AD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.因为BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形,所以BC⊥AB.因为PA∩AB=A,PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB.因为AF⊂平面PAB,所以BC⊥AF.因为PB∩BC=B,PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AF⊥平面PBC.因为EF⊂平面PBC,所以AF⊥EF.(2)作FH⊥PC于点H,连接AH,因为AF⊥平面PBC,PC⊂平面PBC,所以AF⊥PC.因为AF∩FH=F,AF⊂平面AFH,FH⊂平面AFH,所以PC⊥平面AFH.因为AH⊂平面AFH,所以PC⊥AH.所以∠AHF为二面角A-PC-B的平面角.设正方形ABCD的边长为2,则PA=AB=2,AC=2,在Rt△PAC中,PC==2,AH==,在Rt△AFH中,sin∠AHF==,所以二面角A-PC-B的平面角的正弦值为.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠CDA=90°,PA⊥平面ABCD,PA=AD=DC=1,AB=2.(1)证明:平面PAC⊥平面PBC;(2)求点D到平面PBC的距离.【解析】(1)由已知得AC==,BC==,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC,因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC,因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,因为BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.(2)由(1)得BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,BC=,PC==,设点D到平面PBC的距离为d,因为VP-BCD=VD-PBC,所以××DC×AD×PA=××PC×BC×d,所以××1×1×1=××××d,解得d=,所以点D到平面PBC的距离为.(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系为()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定【解析】选D.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CD,C1D1的中点,二面角D-AA1-F与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的,但这两个二面角既不相等,也不互补.2.三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形的中心,高是,侧棱长为,那么侧面与底面所成的二面角是()A.60°B.30°C.45°D.75°【解析】选A.如图,设O为底面正三角形的中心,则PO⊥平面ABC,所以OC=2.过O作OM⊥BC于M,连接PM,则有PM⊥BC,所以∠PMO即为侧面与底面所成的二面角.在直角△CMO中,OM=OCsin30°=1,所以在直角△MPO中,PM==2,所以cos∠PMO==.所以∠PMO=60°.3.在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,那么有()A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC【解析】选D.⇒平面ADC⊥平面DBC.4.(多选题)下列四个命题中,正确的为()A.α∥β,β⊥γ,则α⊥γB.α∥β,β∥γ,则α∥γC.α⊥β,γ⊥β,则α⊥γD.α⊥β,γ⊥β,则α∥γ【解析】选AB.CD不正确,如图所示,α⊥β,γ⊥β,但α,γ相交且不垂直.二、填空题(每小题4分,共8分)5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的大小是________.【解析】二面角的平面角为∠D1AD,故为45°.答案:45°6.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD且底面各边都相等,M是PC上一点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】连接AC,因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,因为四边形ABCD的各边相等,所以AC⊥BD,且PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,即BD⊥PC,要使平面MBD⊥平面PCD,只需PC垂直于面MBD上的与BD相交的直线即可,所以可填DM⊥PC(或BM⊥PC).答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)三、解答题(共26分)7.(12分)在四面体ABCD中,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a.求证:平面ABD⊥平面BCD.【证明】如图所示,因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形,所以取BD的中点E,连接AE,CE,则AE⊥BD,BD⊥CE.在△ABD中,AB=a,BE=BD=a,AE==a.同理CE=a.在△AEC中,AE=CE=a,AC=a,由于AC2=AE2+CE2,所以AE⊥CE,又BD∩EC=E,所以AE⊥平面BCD,又AE⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面BCD.8.(14分)如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,对角线AC,BD相交于点O,将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=3.求证:(1)OM∥平面ABD;(2)平面ABC⊥平面MDO.【证明】(1)由题意知,O为AC的中点,因为M为BC的中点,所以OM∥AB.又OM⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,所以OM∥平面ABD.(2)由题意知,OM=OD=3,DM=3,所以OM2+OD2=DM2,所以∠DOM=90°,即OD⊥OM.因为四边形ABCD是菱形,所以OD⊥AC.又OM∩AC=O,OM,AC⊂平面ABC,所以OD⊥平面ABC.因为OD⊂平面MDO,所以平面ABC⊥平面MDO.