第14课均值不等式2021学年高一数学上学期课时同步练人教B版2019必修第一册解析版

第二单元等式与不等式第14课均值不等式一、基础巩固1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是()A．s≥tB．stC．s≤tD．st【答案】A【解析】∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.2．下列不等式中正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥23【答案】D【解析】a＜0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则ab＜a＋b2，故C错；由均值不等式可知D项正确．3．已知a0，b0，则下列不等式中错误的是()A．ab≤a＋b22B．ab≤a2＋b22C.1ab≥2a2＋b2D.1ab≤2a＋b2【答案】D【解析】由均值不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由a2＋b22≥ab得，ab≤a＋b22，∴1ab≥2a＋b2，故选D.4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是()A．a＞b＞a＋b2＞abB．a＞a＋b2＞ab＞bC．a＞a＋b2＞b＞abD.a＞ab＞a＋b2＞b【答案】B【解析】a＝a＋a2＞a＋b2＞ab＞b·b＝b，因此只有B项正确．5．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3【答案】C【解析】∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴b＝2－a(0≤a≤2)，∴ab＝a(2－a)＝－a2＋2a＝－(a－1)2＋1.∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A、B错误；a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2.∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C．6．已知x0，y0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为()A．12B．3C．32D．1【答案】C【解析】∵x0，y0,2x＋3y＝6，∴xy＝16(2x·3y)≤16·(2x＋3y2)2＝16·(62)2＝32，当且仅当2x＝3y，即x＝32，y＝1时，xy取到最大值32.故选C．7．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则x＋8yxy的最小值为________．【答案】9【解析】因为x，y为正数，且x＋2y＝2，所以x＋8yxy＝(1y＋8x)·(x2＋y)＝x2y＋8yx＋5≥2x2y·8yx＋5＝9，当且仅当x＝4y＝43时，等号成立，所以x＋8yxy的最小值为9.8．已知直角三角形两条直角边的和等于10cm，求面积最大时斜边的长．【答案】52(cm)【解析】设一条直角边长为xcm，(0x10)，则另一条直角边长为(10－x)cm，面积s＝12x(10－x)≤12[x＋10－x2]2＝252(cm2)等号在x＝10－x即x＝5时成立，∴面积最大时斜边长L＝x2＋10－x2＝52＋52＝52(cm)．二、拓展提升9．下列不等式一定成立的是()A．x＋1x≥2B.x2＋2x2＋2≥2C.x2＋3x2＋4≥2D．2－3x－4x≥2【答案】B【解析】A项中当x0时，x＋1x02，∴A错误．B项中，x2＋2x2＋2＝x2＋2≥2，∴B正确．而对于C，x2＋3x2＋4＝x2＋4－1x2＋4，当x＝0时，x2＋3x2＋4＝322，显然选项C不正确．D项中取x＝1,2－3x－4x2，∴D错误．10．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________．【答案】2【解析】xy≤x2＋y22＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．11．设a，b为非零实数，给出不等式：①a2＋b22≥ab；②a2＋b22≥a＋b22；③a＋b2≥aba＋b；④ab＋ba≥2.其中恒成立的不等式是________．【答案】①②【解析】由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；②a2＋b22＝2a2＋b24＝a2＋b2＋a2＋b24≥a2＋b2＋2ab4＝a＋b24＝a＋b22，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为a＋b2＝－1，右边为aba＋b＝－12，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．12．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.【证明】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b2≥ab，b＋c2≥bc，c＋a2≥ca，∴a＋b2＋b＋c2＋c＋a2≥ab＋bc＋ca，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，∴a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.