第15课均值不等式的应用2021学年高一数学上学期课时同步练人教B版2019必修第一册解析版

第二单元等式与不等式第15课均值不等式的应用一、基础巩固1．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是()A．2B．aC.2aa－1D．3【答案】D【解析】∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋1a－1＝a－1＋1a－1＋1≥2a－1·1a－1＋1＝3.2．已知x＜0，则y＝x＋1x－2有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4【答案】C【解析】∵x0，∴y＝－－x＋1－x－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时取等号．3．设x＞0，则y＝3－3x－1x的最大值是()A．3B．－32C．3－23D．－1【答案】C【解析】∵x＞0，∴y＝3－3x＋1x≤3－23x·1x＝3－23.当且仅当3x＝1x，且x＞0，即x＝33时，等号成立．4．若x＞0，y＞0，且1x＋4y＝1，则x＋y的最小值是()A．3B．6C．9D．12【答案】C【解析】x＋y＝(x＋y)·1x＋4y＝1＋yx＋4xy＋4＝5＋yx＋4xy≥5＋2yx·4xy＝5＋4＝9.当且仅当1x＋4y＝1，yx＝4xy，即x＝3，y＝6时等号成立，故x＋y的最小值为9.5.若关于x的不等式2162abxxba对任意的0,0ab恒成立，则实数x的取值范围是（）A.{20}xxB.{20}xxx或C.{42}xxD.{42}xxx或【答案】C【解析】因为0,0ab,所以161628ababbaba(当且仅当4ab时等号成立），所以由题意，得228xx，解得42x,故选C.6.若0,0xy,则1122xyxy的最小值是（）A.32B.42C.4D.2【答案】A【解析】111122222223222xyxyxyxy，当且仅当22,22xy时等号成立.7.某工厂第一年产量为A,第二年增长率为(0)aa,第三年的增长率为(0)bb,这两年的平均增长率为x,则()A.2abxB.2abxC.2abxD.2abx【答案】B【解析】这两年的平均增长率为2,(1)(1)(1)xAxAab，22(1)(1)(1)xab，111(1)(1)122ababxab，2abx，当且仅当11ab，即ab时取等号.8.已知,,abc均为正实数,求证:2222222abbccaabc.【答案】见解析【解析】∵222abab，当且仅当ab时等号成立，∴2222222abaabbab，∴2222abab，∴222abab，①同理222bcbc，②222caca.③①+②+③，得22222222222abcabbccaabc，当且仅当abc的时等号成立.二、拓展提升9.若实数,ab满足0ab,则2214abab的最小值为（）A.8B.6C.4D.2【答案】C【解析】实数,ab满足0ab，则2211444abababab,当且仅当2ab且12ab时等号成立.故选C.10.设0,1,ab若2ab，则411ab的最小值为______．【答案】9【解析】因为0,1,ab，且0,1,ab，10b∴且(1)1ab，4141()[(1)]11ababab∴4(1)4(1)552911bbaaabab，当且仅当4(1)1baab时取等号，结合(1)1ab可解得23a且43b，故所求最小值为9故答案为：911.若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．【答案】233【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤x＋y22＋1.∴34(x＋y)2≤1.12.在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝1□＋9□，试求这两个数．【答案】见解析【解析】设1a＋9b＝1，a，b∈N*，∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)1a＋9b＝1＋9＋ba＋9ab≥10＋2ba·9ab＝10＋2×3＝16，当且仅当ba＝9ab，即b＝3a时等号成立．又1a＋9b＝1，∴1a＋93a＝1，∴a＝4，b＝12.这两个数分别是4,12.