第19课单调性的定义与证明2021学年高一数学上学期课时同步练人教B版2019必修第一册解析版

第三单元函数第19课单调性的定义与证明一、基础巩固1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1,4]上单调递增C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D．函数在区间[－5,5]上没有单调性【答案】C【解析】由题图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有()A．a≥12B．a≤12C．a12D．a12【答案】D【解析】函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－10，即a12.故选D.3．函数y＝1x－1在[2,3]上的最小值为()A．2B.12C.13D．－12【答案】B【解析】∵函数y＝1x－1在[2,3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝13－1＝12.4．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为()A．b＝3B．b≥3C．b≤3D．b≠3【答案】C【解析】函数f(x)＝x2－2bx＋2的图像是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列选项正确的是()A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)]B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)【答案】D【解析】因为a＋b≤0，所以a≤－b或b≤－a，又函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．6．函数f(x)＝1x在[1，b](b1)上的最小值是14，则b＝________.【答案】4【解析】因为f(x)＝1x在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝1b＝14，所以b＝4.7．若函数f(x)＝1x＋1在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．【答案】[－1，＋∞)【解析】函数f(x)＝1x＋1的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.8．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．①y＝a＋f(x)(a为常数)；②y＝a－f(x)(a为常数)；③y＝1fx；④y＝[f(x)]2.【答案】②③【解析】f(x)在定义域内是减函数，且f(x)0时，－f(x)，1fx均为递增函数，故选②③.9．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，解不等式f(x)＞f(8(x－2))．【答案】2＜x＜167.【解析】由f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数得，x0，8x－20，x8x－2，解得2＜x＜167.10．求函数f(x)＝x＋4x在[1,4]上的最值．【答案】最小值4，最大值5【解析】设1≤x1x22，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝x1－x2＋4x2－x1x1x2＝(x1－x2)·1－4x1x2＝(x1－x2)x1x2－4x1x2＝x1－x2x1x2－4x1x2.∵1≤x1x22，∴x1－x20，x1x2－40，x1x20，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．同理f(x)在[2,4]上是增函数．∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.二、拓展提升1．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有fx2－fx1x2－x10，则()A．f(3)f(2)f(1)B．f(1)f(2)f(3)C．f(2)f(1)f(3)D．f(3)f(1)f(2)【答案】A【解析】对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有fx2－fx1x2－x10，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又321，则f(3)f(2)f(1)．故选A.2．已知函数f(x)＝a－3x＋5x≤1，2axx＞1是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A．(0,3)B．(0,3]C．(0,2)D．(0,2]【答案】D【解析】由题意知实数a满足a－3＜0，2a＞0，a－3＋5≥2a，解得0＜a≤2，故实数a的取值范围为(0,2]．3．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________．【答案】－∞，－34，0，34【解析】函数f(x)＝2x2－3|x|＝2x2－3x，x≥0，2x2＋3x，x0，图像如图所示，f(x)的单调递减区间为－∞，－34，0，34.4．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．【答案】6【解析】在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图像．根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图像应为图中的实线部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图像的交点为(4,6)．所以f(x)＝x＋2，0≤x≤4，10－x，x4，其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.5．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．【答案】（1）f(x)＝4x＋1；（2）－94，＋∞【解析】(1)由题意设f(x)＝ax＋b(a0)．从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，所以a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－53(不合题意，舍去)．所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1.(2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图像的对称轴为直线x＝－4m＋18.若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－4m＋18≤1，解得m≥－94，所以实数m的取值范围为－94，＋∞.