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第一单元集合与常用逻辑用语第1课集合的含义一、基础巩固1．现有以下说法，其中正确的是()①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①②B．②③C．③④D．②④【答案】D【解析】在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是()A.5∈MB．0∉MC．1∈MD．－π2∈M【答案】D【解析】51，故A错；－201，故B错；1不小于1，故C错；－2－π21，故D正确．3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是()A．3.14B．－5C.37D.7【答案】D【解析】由题意知a应为无理数，故a可以为74．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集【答案】A【解析】由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.5.设集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是()A．a∈MB．a∉MC．a＝MD．a≠M【答案】B【解析】因为集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，所以a不是集合M中的元素，故a∉M.6．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含有()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素【答案】A【解析】x2＝|x|，－3x3＝－x.当x＝0时，它们均为0；当x0时，它们分别为x，－x，x，x，－x；当x0时，它们分别为x，－x，－x，－x，－x.通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故此集合中元素最多含有2个．7．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．【答案】{k|k≠±1}【解析】∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1，解得k≠±1.8．设A是由满足不等式x6的自然数构成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．【答案】a＝0或1.【解析】∵a∈A且3a∈A，∴a6，3a6，解得a2.又a∈N，∴a＝0或1.二、拓展提升9．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为()A．0B．1C．0或1D．小于或等于1【答案】C【解析】由y∈N且y＝－x2＋1≤1，所以y＝0或y＝1，所以A＝{0，1}．又因为t∈A，所以t＝0或t＝1，故选C.10．(2019·信阳检测)已知集合P中元素x满足：x∈N，且2xa，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.【答案】6【解析】因为集合P中恰有三个不同元素，且元素x满足x∈N，且2xa，则满足条件的x的值为3，4，5，所以a的值是6.11．已知数集A满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．【答案】－1，12，2【解析】根据题意，由2∈A可知，11－2＝－1∈A；由－1∈A可知，11－－1＝12∈A；由12∈A可知，11－12＝2∈A.故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.12.定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且ab∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．【答案】数集N，Z不是“闭集”，数集Q，R是“闭集”．【解析】(1)数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N，2∈N，而32＝1.5∉N；3∈Z，－2∈Z，而3－2＝－1.5∉Z，故N，Z不是闭集．(2)数集Q，R是“闭集”．由于两个有理数a与b的和，差，积，商，即a±b，ab，ab(b≠0)仍是有理数，所以Q是闭集，同理R也是闭集．