第22课奇偶性的应用2021学年高一数学上学期课时同步练人教B版2019必修第一册解析版

第三单元函数第22课奇偶性的应用一、基础巩固1．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x0时，f(x)的解析式是()A．f(x)＝－x2＋2x－3B．f(x)＝－x2－2x－3C．f(x)＝x2－2x＋3D．f(x)＝－x2－2x＋3【答案】B【解析】若x0，则－x0，因为当x0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B.2．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是()A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)【答案】C【解析】∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.3．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为()A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．[1，＋∞)【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图像如图，下列说法正确的是()A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数有两个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7D．这个函数在其定义域内有最小值是－7【答案】C【解析】根据偶函数在[0,7]上的图像及其对称性，作出函数在[－7,7]上的图像，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.故选C.5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)f13的x的取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23【答案】A【解析】由题意得|2x－1|13⇒－132x－113⇒232x43⇒13x23，故选A.6．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.【答案】－x＋1【解析】∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝－x＋1，即x＜0时，f(x)＝－x＋1.7．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2019，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．【答案】2019【解析】由于偶函数的图像关于y轴对称，所以f(x)在对称区间内的最值相等．又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2019，故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2019.8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)按从小到大的排列是________．【答案】f(－2)f(1)f(0)【解析】当m＝1时，f(x)＝6x＋2不合题意；当m≠1时，由题意可知，其图像关于y轴对称，∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋2，∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．又012，∴f(0)f(1)f(2)＝f(－2)．9．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)0.【答案】0，23【解析】∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，∴由f(1－x)＋f(1－2x)0，得f(1－x)－f(1－2x)，∴f(1－x)f(2x－1)．又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，∴－11－x1，－11－2x1，1－x2x－1，解得0x23，∴原不等式的解集为0，23.10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)0，试问F(x)＝1fx在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．【答案】减函数【解析】F(x)在(－∞，0)上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1x2，则有－x1－x20.因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)0，所以f(－x2)f(－x1)0.①又因为f(x)是奇函数，所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②由①②得f(x2)f(x1)0.于是F(x1)－F(x2)＝fx2－fx1fx1·fx20，即F(x1)F(x2)，所以F(x)＝1fx在(－∞，0)上是减函数．二、拓展提升11．下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数的是()A．y＝|x|B．y＝1－xC．y＝1xD．y＝－x2＋4【答案】A【解析】选项B中，函数不具备奇偶性；选项C中，函数是奇函数；选项A，D中的函数是偶函数，但函数y＝－x2＋4在区间(0,1)上单调递减．故选A.12．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有()A．最大值－14B．最大值14C．最小值－14D．最小值14【答案】B【解析】法一(奇函数的图像特征)：当x0时，f(x)＝x2＋x＝x＋122－14，所以f(x)有最小值－14，因为f(x)是奇函数，所以当x0时，f(x)有最大值14.法二(直接法)：当x0时，－x0，所以f(－x)＝－x(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－x－122＋14，所以f(x)有最大值14.故选B.13．如果函数F(x)＝2x－3，x0，fx，x0是奇函数，则f(x)＝________.【答案】2x＋3【解析】当x0时，－x0，F(－x)＝－2x－3，又F(x)为奇函数，故F(－x)＝－F(x)，∴F(x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则fxx0的解集为________．【答案】{x|－3x0或x3}【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，∴f(3)＝f(－3)＝0.当x0时，f(x)0，解得x3；当x0时，f(x)0，解得－3x0.15．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.(1)求b的值；(2)若f(x)在[0,2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)0，求实数m的取值范围．【答案】（1）b＝0；（2）12，2【解析】(1)因为函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，所以f(0)＝0，解得b＝0.(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2,2]上是单调递增的，因为f(m)＋f(m－1)0，所以f(m－1)－f(m)＝f(－m)，所以m－1－m，①又需要不等式f(m)＋f(m－1)0在函数f(x)定义域范围内有意义．所以－2≤m≤2，－2≤m－1≤2，②解①②得12m≤2，所以m的取值范围为12，2.