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第一单元集合与常用逻辑用语第6课全称量词命题与存在量词命题的否定一、基础巩固1．下列语句是命题的是()A．2019是一个大数B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C．y＝kx＋b(k≠0)是一次函数吗？D．a≤15【答案】B【解析】A，D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题．2．下列命题是假命题的个数为()①多边形的外角和与边数有关；②{x∈N|x3＋1＝0}不是空集；③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；④若整数m是偶数，则m是合数．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为Δ＝4＋4a20，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例．3．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0B．菱形的两条对角线相等C．∃x∈R，x2＝xD．一次函数在定义域上是单调函数【答案】D【解析】A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以是假命题；B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是存在量词命题．故选D.4．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4B．2C．0D．－3【答案】C【解析】方程无实根应满足Δ＝a2－4＜0，即a2＜4，故当a＝0时适合条件．5．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆【答案】A【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形，它的四个顶点不共圆”，故选A.6．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈PD．∃x∈P，使得x∉Q【答案】【解析】因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以A，C，D错误，B正确．7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为________________________________________________________________________．【答案】见解析【解析】存在量词命题“存在集合M中的一个元素x，使s(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，s(x)”．8．下列命题：①存在x0，x2－2x－3＝0；②对于一切实数x0，都有|x|x；③∀x∈R，x2＝x；④已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm.其中，所有真命题的序号为________．【答案】①②【解析】因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x＝－10，使x2－2x－3＝0，故①为真命题；②显然为真命题；③x2＝|x|，故③为假命题；④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题．二、拓展提升9．下列命题为真命题的是()A．对每一个无理数x，x2也是无理数B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数【答案】C【解析】若x＝2，则x2＝2是有理数，故A错误；B，因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0错误；因为2＝1×2，所以有些整数只有两个正因数，故C正确；2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C.10．给出四个命题：①末尾数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数，下列说法正确的是()A．四个命题都是真命题B．①②是全称量词命题C．②③是存在量词命题D．四个命题中有两个假命题【答案】C【解析】①末尾数是偶数的整数能被2整除，是全称量词命题，是真命题；②有的菱形是正方形，是存在量词命题，是真命题；③存在实数x，x＞0，是存在量词命题，是真命题；④对于任意实数x,2x＋1是奇数，是全称量词命题，是假命题；故A，B，D错误，C正确．故选C.11．已知命题p：∃x0，x＋a－1＝0为假命题，求实数a的取值范围．【答案】a≥1【解析】因为命题p：∃x0，x＋a－1＝0为假命题，所以¬p：∀x0，x＋a－1≠0是真命题，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1.所以a的取值范围为a≥1.12．命题“（a＋b）2|1＋b|＝a＋b1＋b”是全称量词命题吗？如果是全称量词命题，请给予证明；如果不是全称量词命题，请补充必要的条件，使之成为全称量词命题．【答案】不是全称量词命题【解析】不是全称量词命题，增加条件“对∀a，b∈R，且满足1＋b0，a＋b≥0”，得到命题是全称量词命题．